MAKALAH STATISTIK 

BAB. I

 PENGERTIAN DAN KEGUNAAN STATISTIK 

1. PENGERTIAN ILMU STATISTIK ILMU : 

adalah pokok-pokok pikiran yang teratur dan dapat digunakan untuk memecahkan/menyelesaikan masalah atau persoalan. 

I. Arti Statistik dapat dibagi atas 2 bagian a. Arti Sempit: Statistik adalah data atau ringkasan yang berbentuk angka. Misalnya:Statistikpenduduk (jumlah penduduk, umur, jenis kelamin dll) Statistik harga ( membahas harga beras, gula, pakaian dll ) 

b. Arti Luas : Ilmu yang mempelajari cara ; Pengumpulan data, Pengolahan data, Analisa data, Penyajian data, Penarikan kesimpulan atau Pengambilan keputusan berdasarkan hasil penelitian.

c. I (Satu) : Pembahasan mulai dari pertama yaitu : Pengertian Ilmu Statistik 

2. KEGUNAAN MEMPELAJARI ILMU STATISTIK 

1. Memperoleh gambaran suatu keadaan atau persoalan yang sudah terjadi 

2. Untuk Penaksiran ( Forecasting ) 

3. Untuk Pengujian ( testing hypotesa ) 

3. BEBERAPA ISTILAH YANG DIPAKAI DALAM ILMU STATISTIK 

1.Karakteristik : adalah Sifat-sifat atau ciri-ciri yang dimiliki oleh suatu unsur Misalnya : Unsur itu Pegawai, maka karakteristiknya jenis kelamin, Pendidikan, Umur, Masa kerja, Gaji dll. 

2. Variabel : adalah suatu nilai karakteristik dari suatu unsur yang sifatnya berubah - ubah. Misalnya Harga, Umur dll. 

3. Populasi : Populasi adalah kumpulan yang lengkap dari suatu elemen atau unsur yang sejenis, akan tetapi dapat dibedakan satu sama lain karena nilai karateristiknya berlainan. Seperti Jenis kelamin, Umur, Wajah dll. 

4. SAMPLE : ialah bagian dari populasi yang disebut juga Contoh yang dapat mewakili obyek yang akan diselidiki Misal : diambil 100 dari 1000 perusahaan yang akan diselidiki. 

4. ARTI, KEGUNAAN SERTA TUJUAN PENGUMPULAN DATA 

 a. Data adalah suatu yang diketahui atau dianggap dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan yang sudah terjadi dan akan terjadi. 

b. Data antara lain dapat digunakan untuk : 

1. Dasar suatu perencanaan

2. Sebagai alat kontrol 

3. Sebagai dasar untuk evaluasi

c. Tujuan Pengumpulan Data : 

1. Untuk memperoleh tentang suatu keadaan atau persoalan yang sudah terjadi 

2. Sebagai dasar untuk pembuatan keputusan atau pemecahan persoalan 

5. SYARAT-SYARAT DATA YANG BAIK 

1. Objektif ( langsung dari Obyeknya ) 

2. Representatif ( bisa mewakili ) 

3. Standard Error ( kesalahan bakunya kecil ) 

4. On time ( tepat waktu ) 

5. Relevant ( sesuai ) 

6. PEMBAGIAN DATA 

1. Menurut Sifatnya

a. Data Kwalitatip : data yang bukan dalam bentuk angka Contoh : Meningkat, mahal, lancar dll 

b. Data Kwantitatip : data dalam bentuk angka Contoh : 100 Kg, Rp. 1000, 100 % dll 

2. Menurut Sumbernya 

a. Data Internal : data yang menggambarkan keadaan atau kegiatan dalam suatu Organisasi. ( Contoh : Produksi, Pemasaran, Pembelanjaan dll )

c. Data Eksternal : data yang menggambarkan suatu keadaan atau kegiatan di luar suatu organisasi ( misalnya: daya beli masyarakat, Perkembangan harga, konsumsi dll ).

3. Menurut Cara Memperolehnya 

a. Data Primer yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh seseorang/ suatu organisasi langsung dari obyeknya. 

b. Data Sekunder yaitu data yang diperoleh dalam bentuk sudah jadi, sudah dikumpulkan dan diolah oleh pihak lain. (Biasanya sudah dipublikasikan).

4. Menurut waktu Pengumpulannya 

a. Cross Section / Insidentil : dikumpulkan pada suatu waktu tertentu. 

b. Data Berkala / Time Series data : dikumpulkan secara berkala. 

7. CARA PENGUMPULAN DATA 

1. SENSUS ialah Pengumpulan data dengan jalan seluruh elemen populasi di selidiki satu persatu. Data yang diperoleh dari hasil sensus adalah data yang sebenarnya atau sering disebut Parameter. Karena sensus itu mahal biayanya, memerlukan banyak tenaga, dan waktu yang lama maka tidak efisien, sehingga PBB kepada para Negara anggota. Sensus penduduk cukup sekali dalam 10 tahun. ( Indonesia 1961, 1971, 1981), pertanian dan industri 5 tahun sekali.

2. SAMPLING ialah Pengumpulan data dengan jalan menyelidiki sample (contoh) dari suatu populasi. Data yang diperolehnya adalah data perkiraan (estimate value), jadi kalau ada 1000, cukup diselidiki 100 (1:10). Cara Pengambilan Sample ada 2, yaitu:

1. RANDOM : Setiap elemen mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota. Misal, undian dan Random Number. 

2. Non Random : Setiap anggota tidak mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. 

8. METODA / ALAT PENGUMPULAN DATA 

1. Kuesioner : Daftar isian 

2. Wawancara : Tanya- Jawab (jarak dekat atau jarak jauh) 

3. Observasi : Pengamatan 

4. Alat komunikasi : Telepon, Radio, TV, Fax. Internet dll

9. PENGOLAHAN DATA 

1. Dengan Cara Manual : Manusia yang menghitung langsung. Contoh: Hasil Pengumpulan data 10 Perusahaan( dalam jutaan Rp.) sbb. x1 = 5, x2 =4, x3=7 , x4=6, x5 = 8 x6 = 9, x7 = 10, x8 = 11, x9 = 12, x10 =13 Berapakah rata-rata modal yang dimiliki oleh perusahaan tersebut ? Jawab : X1 + X2 …… + X10. 5 + 4 …….. + 13 = 85 : 10 = 8,5 ( Rp. 8.500.000,-). 2. Dengan Kalkulator : yaitu mengolah data dengan menggunakan Kalkulator Contoh : Log Gm = fi . Log Xi / n Gm = anti Log fi . Log Xi / n Misalnya : Log Gm = 1,727346897 1,727346897 Maka Gm = ( 10 ) = 53,76 3. Dengan Komputer : Yaitu membuat program komputer untuk mengolah data.

10. MACAM-MACAM GRAFIK 

Grafik dapat dibagi atas 5 bagian , yaitu: 

1. Grafik Garis (Line Chart). 

2. Grafik Batangan / Balok ( Bar Chart/ Histogram) 

3. Grafik Lingkaran (Pie Chart). 

4. Grafik Gambar (Pictogram) 

5. Grafik Berupa Peta (Cartogram) Ad. 

1. GRAFIK GARIS Adalah grafik yang digambarkan dalam bentuk garis, dan terbagi atas 5 bagian, yaitu: 

A. GRAFIK GARIS TUNGGAL (SINGLE LINE CHART) Adalah grafik yang terdiri dari 1 (satu) garis, untuk menggambarkan perkembangan suatu hal / kejadian. Misalnya : Perkembangan hasil penjualan semen, pupuk, tekstil karet, dll. Contoh : Hasil penjualan semen PT. Semen Tonasa dari tahun 2001- 2005 (ribuan ton), sbb: 

TABEL. 1. TAHUN JENIS BARANG 2001 2002 2003 2004 2005 SEMEN 2 4 6 8 10 Grafiknya : PENJUALAN (RIBUAN TON) 10 5 0 2001 2002 2003 2004 2005 TAHUN B. GRAFIK GARIS BERGANDA (MULTIPLE LINE CHART) Yaitu grafik yang terdiri dari beberapa garis untuk menggambarkan perkembangan beberapa hal atau kejadian secara bersamaan. Misalnya: Perkembangan penjualan menurut beberapa golongan barang, perkembangan ekspor menurut beberapa golongan barang, jumlah korban kecelakaan lalu lintas menurut jenis korban (meninggal, luka berat, dan luka ringan). Contoh: Hasil penjualan semen oleh PT. Semen Tonasa dari tahun 2001-2005 (ribuan ton) 

TABEL . 2 . TAHUN JENIS BARANG 2001 2002 2003 2004 2005 Port Land (A) 2 4 6 8 10 Putih (B) 3 6 9 12 15 Jumlah 5 10 15 20 25 JUMLAH (Ribuan ton) 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2001 2002 2003 2004 2005 TAHUN Keterangan : = A = B 

C. GRAFIK GARIS KOMPONEN BERGANDA (MULTIPLE COMPONEN LINE CHART) Yaitu Seperti grafik garis berganda akan tetapi garis yang kedua diletakkan diatas garis yang pertama sesuai dengan data dan seterusnya dan garis yang terakhir berimpit dengan jumlah masing-masing komponen. Contoh : Sumber data dari table 2. Gambarlah Grafiknya. JUMLAH 28 (Ribuan ton) 26 B 24 22 20 18 16 14 12 10 A 8 6 4 2 0 2001 2002 2003 2004 2005 Tahun D. GRAFIK GARIS PERSENTASE KOMPONEN BERGANDA ( MULTIPLE PERCENTASE COMPONEN LINE CHART) Yaitu seperti grafik garis komponen berganda, hanya masing-masing komponen Dinyatakan dalam persentase terhadap jumlah. Contoh : Hasil penjualan P.T Semen Tonasa dari tahun 2001 – 2005 (dalam Ribuan ton) 

 TABEL . 3 . TAHUN JENIS BARANG 2001 2002 2003 2004 2005 Port Land (A) 2 4 6 8 10 Putih (B) 3 6 9 12 15 Jumlah 5 10 15 20 25 Penyelesaian : 2001 : Barang A = 2/5 x 100 % = 40 % B = 3/5 x 100 % = 60 % 2002 : Barang A = 4/10 x 100 % = 40 % B = 6/10 x 100 % = 60 % 2003 : Barang A = 6/15 x 100 % = 40 % B = 9/15 x 100 % = 60 % 2004 : Barang A = 8/20 x 100 % = 40 % B = 12/20 x 100 % = 60 % 2005: Barang A = 10/25 x 100 % = 40 % B = 15/25 x 100 %= 60 % GRAFIKNYA : JUMLAH ( dalam % ) 100 B 80 60 40 A 20 0 2001 2002 2003 2004 2005 Tahun 

E. GRAFIK GARIS BERIMBANG NETTO

 Adalah grafik yang menggambarkan selisih nilai-nilai yang berlawanan Misalnya : Eksport- Import, Pendapatan dan Pengeluaran, Output-Input dll. Contoh : Neraca Perdagangan Indonesia( dalam jutaan US $ ) Bulan Juni- Desember 1976 Tabel 4. Sumber : Indikator Ekonomi Indonesia Desember 1976 KEGIATAN JUNI JULI AGUST. SEPT. OKTO. NOP. DES. A. EKSPORT 507,7 371,2 750,9 636,4 768,6 507,7 730,2 B. IMPORT 465,0 433,9 416,3 370,2 352,5 345,1 428,7 SELISIH 42,7 - 62,7 334,6 266,2 416,1 162,6 301,5 GRAFIKNYA : NILAI SELISIH ( Jutaan US $ ) 500 450 . 400 350 . 300 . . 250 200 . 150 100 50 - 0 1 1 1 1 1 1 - 50 . -100 JUNI JULI AGUST. SEPT. OKTO. NOP. DES. BULAN 2. GRAFIK BATANG/BALOK Yaitu Grafik yang digambarkan berupa Batang/Balok, hampir sama seperti grafik garis Dana terbagi atas 5 bagian 

1. GRAFIK BATANG/BALOK TUNGGAL(SINGLE BAR CHART) 

Yaitu : Sama seperti grafik garis tunggal, hanya dibuat dalam bentuk batang/balok Contoh : Data dari table 1 GRAFIKNYA : JUMLAH (Ribuan ton) 10 8 6 4 2 0 2001 2002 2003 2004 2005 Tahun

2. GRAFIK BATANG BERGANDA( MULTIPLE BAR CHART ) Yaitu : Sama seperti grafik garis berganda, hanya dibuat dalam bentuk batang/ Balok Contoh : Sumber data dari Tabel 2 GRAFIKNYA JUMLAH (Ribuan ton) 18 16 B 14 12 10 A 8 6 4 B A 2 0 2001 2002 2003 2004 2005 Tahun 3. GRAFIK BATANG KOMPONEN BERGANDA( MUTIPLE COMPONEN BAR CHART) Yaitu sama seperti Grafik garis Komponen berganda, hanaya digambarkan dalam bentuk Batangan/balok. Contoh : Sumber data Tabel 2 GRAFIKNYA : JUMLAH 26 (Ribuan ton) 24 22 B 20 18 16 14 12 10 8 6 4 B A 2 A 0 2001 2002 2003 2004 2005 Tahun

3. GRAFIK BATANG PROSENTASE KOMPONEN BERGANDA( MULTIPLE PERCENTASE COMPONEN BAR CHART ) 

Yaitu sama seperti grafik garis persentase komponen berganda, hanya dibuat dalam bentuk batang/balok dan di beri warna yang berbeda. Contoh : Sumber data dari Tabel 3 GRAFIKNYA : JUMLAH ( % ) 100 80 60 B B B B B 40 A A A A A 20 0 2001 2002 2003 2004 2005 TAHUN 4. GRAFIK BATANG BERIMBANG NETTO( NET BALANCED BAR CHART) 15 Yaitu : Sama seperti Grafik garis berimbang Netto, hanya dibuat dalam bentuk batang/balok. Contoh : Sumber data dari Tabel 4 GRAFIKNYA : JUMLAH 600 Nilai Selisih 500 400 300 200 100 0 -100 JUNI JULI AGUST. SEPT. OKTO. NOP. DES KETERANGAN : = Surplus = Defisit Ad.

3. GRAFIK LINGKARAN (PIE CHART) 

 Adalah grafik yang digambarkan dalam bentuk lingkaran dan terbagi atas 2 bagian:
 1. GRAFIK LINGKARAN TUNGGAL (SINGLE PIE CHART) Yaitu Pie Chart yang terdiri dari satu buah lingkaran. Contoh: Sebuah Kabupaten di Indonesia penduduknya mempunyai mata pencarian sbb : A : Pertanian : 25% B : Perikanan : 25% C : Pertambangan : 50% Gambarlah : Single Pie Chart ? Penyelesaiannya: A = 25/100 x 360 = 90 B = 25/100 x 360 = 90 C = 50/100 x 360 = 180 GRAFIKNYA: A aAA B C C
 2. GRAFIK LINGKARAN BERGANDA( MULTIPLE PIE CHART ) Adalah Pie Chart yang terdiri atas beberapa buah Lingkaran atau lebih dari Satu buah lingkaran. Contoh : Jenis-Jenis hasil tambang dari beberapa daerah atau negara seperti pada Table dibawah ini ( dalam Jutaan ton )
 Tabel 4 HASIL TAMBANG NEGARA JUMLAH X Y Z A 2 4 6 12 B 4 6 8 18 Hitunglah :
 1. Hasil tambang masing-masing negara dalam % dan derajat ? Gambarlah:
 2. Grafik lingkaran Berganda (Multiple Pie Chart)nya ? Penyelesaian : Negara A : 1. X = 2/12 x 100 % = 16,67 % x 360 = 60 2. Y = 4/12 x 100 % = 33,33 % x 360 = 120
 3. Z = 6/12 x 100 % = 50 % x 360 = 180 Negara B : 1. X = 4/18 x 100 % = 22,22 % x 360 = 80 2. Y = 6/18 x 100 % = 33,33 % x 360 = 120 3. Z = 8/18 x 100 % = 44,45 % x 360 = 160 GRAFIKNYA : NEGARA : A NEGARA : B Y X X Y Z Z Z Ad.
4 GRAFIK GAMBAR( PICTOGRAM ) Adalah Grafik yang berupa gambar sebenarnya, seperti : - Jumlah Penduduk pada tahun tertentu - Jumlah pohon kelapa pada sebuah propinsi - Dsb, Contoh : Berdasarkan hasil sensus penduduk Indonesia ; 1. Tahun 1930 = 60 Juta Jiwa 2. Tahun 1961 = 97 Juta Jiwa 3. Tahun 1971 = 119,2 Juta Jiwa 4. Tahun 1980 = 149,8 Juta Jiwa 5. Tahun 1990 = 183,2 Juta jiwa 6. Tahun 2000 = 224,7 Juta Jiwa GRAFIKNYA : Keterangan : Ọ = 10.000.000, Ọ Ọ Ọ Ọ Ọ Ọ 1. Tahun 1930 = Ọ Ọ Ọ Ọ Ọ Ọ Ọ Ọ Ọ Ọ 2. Tahun 1961 = Ad.
 5. GRAFIK BERUPA PETA ( CARTOGRAM ) Adalah Grafik yang digambarkan pada peta yang sebenarnya, dan diberi warna Pada daerah tertentu. Misalnya : - Kepadatan Penduduk - Kurang Penduduk - Dsb. Contoh : Dari hasil sensus penduduk Indonesia tahun 1971, maka pulau yang paling Padat penduduknya adalah pulau Jawa dan Madura GRAFIKNYA :

 BAB II DISTRIBUSI FREKWENSI 

 1. RUMUS STURGES Pada tahun 1926 H.A Sturges menulis artikel dengan judul : The choice of a class Interval dalam jurnal of the American Statistical Association. Ia mengembangkan suatu rumus untuk menentukan banyaknya kelas sebagai berikut: K = 1 + 3, 322 Log. N K = Banyaknya kelas N = Banyaknya data Observasi Hal-hal yang perlu dalam menentukan banyaknya Kelas dan Interval sebagai berikut : a. Angka desimal kurang dari 5 ( < 5 ) dihilangkan Contoh : 7, 44 = 7, 4 = 7 7, 40 = 7, 4 = 7 6,20 = 6, 2 = 6, dsb b. Angka desimal sama atau lebih besar( ≥ 5 ) dibulatkan menjadi satu( 1 ) Contoh : 7, 45 = 7,5 = 8 7, 50 = 7,5 = 8 7,65 = 7,7 = 8 dst. c. Hindari pengulangan penggunanaan batas atas Kelas yang satu dengan yang lainnya. Contoh : Modal(Jutaan Rp.) Modal(Jutaan Rp.) 150 - 155 150 - 155 155 - 160 156 - 161 160 - 165 162 - 167 Salah benar 2. SATU INTERVAL ( I ) I = Range/ K I = Interval Range = Selisih antara angka terbesar dengan angka terkecil ( angka terbesar – angka terkecil ) K = Banyaknya Kelas.

 2. FREKWENSI RELATIP, KUMULATIP DAN GRAFIK Untuk pengambilan kesimpulan dan keputusan lebih mudah dan cepat dibuatkan grafik yang berasal dari table Distribusi Frekwensi. Tabel Distribusi Frekwensi TB DATA TA fi Fr LCF ≤ MCF ≥ JUMLAH Keterangan : TB = Tepi Bawah TA = Tepi Atas Fi = Frekwensi ke i Fr = Frekwensi Relatip LCF = Less Then Cumulatif Frekwensi MCF = More Then Cumulatif Frekwensi Contoh : Soal . BKPM telah mengadakan Penelitian terhadap 20 Perusahaan( Industri Kecil ), dimana modal masing-masing Perusahaan (dalam Jutaan Rp) sebagai berikut: 86 94 77 80 85 85 68 68 70 72 72 72 76 76 60 60 62 67 50 58 Hitunglah : 1. Banyaknya Kelas ? 2. Interval ? Gambarlah: 3. Kurva Frekwensi Kumulatip ? 4. Histogram dan Poligon ? Jawab : 1. K = 1 + 3, 322 Log n = 1 + 3, 322 Log 20 = 1 + 3, 322 x 1,30 = 1 + 4, 32 = 5, 32 2. i = Rage/ K = 94 - 50 5 = 44/5 = 8,8 = 9 Catatan : Data tersebut diurutkan dari angka terkecil s/d terbesar sebagai berikut : 50 = 1 58 = 1 = 2 60 = 2 62 = 1 67 = 1 = 4 68 = 2 70 = 1 72 = 3 76 = 2 = 8 77 = 1 80 = 1 85 = 2 = 4 86 = 1 94 = 2 = 2 Tabel Distribusi Frekwensi TB MODAL TA Fi Fr LCF MCF 49,5 50 - 58 58,5 2 10 % 2(10 % ) 20( 100 % ) 58,5 59 - 67 67,5 4 20 % 6(30 % ) 18( 90 % ) 67,5 68 - 76 76,5 8 40 % 14(70 % ) 14( 70 % ) 76,5 77 - 85 85,5 4 20 % 18( 90 % ) 6( 30 % ) 85,5 86 - 94 94,5 2 10 % 20(100 % ) 2( 10 % ) JUMLAH 20 100 % 3. Kurva Frekwensi Kumulatip JUMLAH 100 . . LCF ( % ) 90 . . LCF/MCF 80 70 . 60 50 40 30 . . 20 10 . . 0 Median MCF TB 49,5 58,5 67,5 76,5 86,5 94,5 TA 4. Histogram dan Poligon JUMLAH 10 8 Histogram 6 Poligon 4 2 0 TB 49,5 58,5 67,5 76,5 85,5 94,5 TB BAB. III PEMUSATAN DATA Meliputi :
 1. Rata-Rata Hitung (Aritmetic Mean )
 2. Median( Med. ) = Nilai Tengah
 3. Modus( Mod. ) = Nilai Terbanyak
4. Rata-Rata Ukur( Geometric Mean )
 5. Rata-Rata Harmonis( Harmonice Mean )
 6. Rata-Rata Kwadrat( Quadratic Mean )

 1.RATA-RATA HITUNG ( X ) _ Cara menghitung X (Aritmetic Mean) dapat dibagi atas 2 bagian yaitu: a). Un Group Data (Data tidak dikelompokan) Rumus: X = 1/n ∑ xi atau : Dimana: ∑ xi = Jumlah data ke i n = Banyaknya data observasi Contoh: Hasil penimbangan berat 5 karung beras milik P.T Abadi (dalam kg) datanya sbb: A = 68 B = 84 C = 75 D = 82 E = 68 ∑xi = 377 ; n = 5 Hitunglah : Aritmetic mean data tersebut? Jawab: X = ∑ Xi n = 377 5 = 75,4 kg B. Group Data ( Data dikelompokan) Rumus: Dimana: Fi = Frekwensi kelas ke i Xi = Mid Point (Nilai tengah setiap kelas) N = Banyaknya data observasi Soal: Data penimbangan berat 65 karung beras milik P.T Makmur (dalam Kg), Sudah diolah dalam table Frekwensi sbb: Berat Beras (Kg) Mid Point (Xi) Banyaknya karung (fi) Fi.xi 45 – 50 47,5 5 237,5 51 – 56 53,5 7 374,5 57 – 62 59,5 10 595 63 – 68 65,5 20 1310 69 – 74 71,5 12 858 75 – 80 77,5 8 620 81 – 86 83,5 3 250,5 ∑ 65 4245,5 Hitunglah: Aritmetic Mean (Berat Rata-rata) karung beras tersebut? _ Jawab: X = ∑ fi. Xi ∑ fi = n = 4245,5 65 = 65,32 Kg
 2. MEDIAN (MED) Terbagi atas 2 bagian yaitu:
 a) UN GROUP DATA (DATA TIDAK DIKELOMPOKAN) 1. n = Ganjil → Rumus Soal: 7 Orang karyawan PT. Sejahtera mempunyai upah masing-masing dalam (Ribuan Rp) berdistribusi sebagai berikut: 20, 80, 75, 60, 50, 85, & 45 Hitunglah: Mediannya? Jawab: Data tersebut harus diurutkan dari angka terkecil sampai dengan angka terbesar sebagai berikut: 20, 45, 50, 60, 75, 80, & 85 1 2 3 4 5 6 7 Med = n + 1 2 = 7 + 1 2 = 8/2 = 4 (Median terletak pada data ke 4 = 60 x Rp.1000, = Rp 60.000) 2) n = Genap → Rumus : Soal: Upah untuk 6 orang karyawan PT. Sejahtera (dalam ribuan Rp) datanya Sudah diurutkan sebagai berikut : 1. 20 2. 45 3. 50 4. 60 5. 75 6. 80 Hitunglah : Mediannya ? Jawab: Med = (6/3) + (6/2 + 1) 2 = 3 + 4 (terletak pada data ke 3& ke 4) 2 = 50 + 60 2 = 55 x Rp. 1.000, = Rp. 55.000,
B. GROUP DATA n/2 - F Rumus : Med = Lo + x i fmed Dimana : Lo = Lower of Boundary Class(Tepi bawah) n = Jumlah data Observasi F = Frekwensi komulatif sebelum median f med= Frakwensi Median i = interval Soal: Upah untuk 50 orang karyawan PT MAKMUR (dalam ribuan RP/Bulan) Datanya sudah diolah dalam tabel frekwensi sebagai berikut: Lo = TB UPAH (Ribuan Rp) Fi (f med) F (LCF) 129,5 139,5 149,5 159,5 169,5 179,5 189,5 130 – 139 140 – 149 150 – 159 160 – 169 170 – 179 180 – 189 190 – 199 4 6 8 12 9 7 4 4 10 18 30 39 46 50 ∑ 50 Hitunglah: Mediannya? Jawab: Med = Lo + 50/2 – F . 10 F med = Lo + 25 – 18 . 10 12 = 159,5 + 70 / 12 = 159,5 + 5,83 = 165,33 (Artinya : 50% dari karyawan tsb mempunyai upah Rp. 165.330)
 3. MODUS (MOD) : Data yang sering muncul sehingga mempunyai nilai terbanyak A.UN GROUP DATA RUMUS: Mod = n terbanyak muncul Contoh: 1. 2, 2, 3, 5, 9, 9, 9, 10, 10 Modusnya = 9 2. 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10 Modusnya = 8 3. 2, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 9, 10, 4 Modusnya = 4 4. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Modusnya = tidak ada 5. 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 7 Modusnya = 7 dan seterusnya. B. GROUP DATA . F01 Rumus : Mod. = Lo + x i F 01 + f02 Dimana : Lo/TB = Tepi Bawah yang memuat Modus F01= Selisih antara frekwensi yang memuat Modus dengan Frekwensi sebelumnya/diatasnya F02= Selisih antara frekwensi yang memuat Modus dengan Frekwensi sesudahnya/dibawahnya. Soal : Upah 50 Orang karyawan P.T Makmur…. Maka, fmod. = 12 F01 = 12 - 8 = 4 F02 = 12 – 9 = 3 Lo = 59,5 I = 10 Hitunglah : Modusnya ? Jawab : Mod. = Lo + 4 . 10 4 + 3 = 159,5 + 40/7 = 159,5 + 5,7 = 165,2 x Rp. 1000, = Rp. 165.200,
 4. RATA-RATA UKUR( GEOMETRIC MEAN ) A.UN GROUP DATA Rumus : Log. Gm = ∑ Log. Xi dan N Gm = Anti Log. ∑ Log. Xi N Soal: Pendapatan 4 orang pengusaha di DKI Jakarta (dalam jutaan Rp/Bulan) masing-masing Sbb: X1 = 4; X2 = 6, X3 = 8 & X4 = 10 Hitunglah: Pendapatan rata-rata mereka menurut Geometric Mean? Jawab: X1 = 4 → Log 4 = 0,6021 X2 = 6 → Log 6 = 0,7782 X3 = 8 → Log 8 = 0,9031 X4 = 10 → Log10 = 1,0000 _________________________ n = 4 ; ∑Log Xi = 3,2834 Log Gm = 3,2834 4 = 0,82085 Gm = anti Log 0,82085 = 10 0,82085 = 6,6199 x Rp. 1.000.000, = Rp 6.619.900
 B. GROUP DATA Rumus: Dan Dimana : ∑ fi = Jumlah Frekwensi kelas ke i Xi = Mid point (Nilai tengah setiap kelas) n = Banyaknya data observasi Soal: Hasil penimbangan Berat 65 karung Kacang Hijau (dalam kg) datanya sudah diolah dalam tabel frekwensi sebagai berikut: BERAT (Kg) BANYAKNYA karung (fi) MID POINT (Xi) Fi . Log xi 45 – 50 51 - 56 57 - 62 63 – 68 79 - 74 75 – 80 81 – 86 5 7 10 20 12 8 3 47,5 53,5 59,5 65,5 71,5 77,5 83,5 8,3535 12,0985 17,7452 36,2348 22,2517 15,1144 5,7651 ∑ 65 117,6832 Hitunglah: Berat Rata-rata menurut Rata-rata ukur ? Jawab: Log Gm = 117,6832 = 1,810511 65 Gm = anti Log 1,810511 = (10) 1,810511 = 64,64 Kg HUBUNGAN ANTARA RATA-RATAUKUR DENGAN BUNGA MAJEMUK Rumus: dimana: Pn = Munlah Modal Akhir Po = Jumlah Modal Awal r = Rate of Interest (tingkat bunga dalam decimal) n = Periode (tahun) Bunga Majemuk = Bunga ganda / Bunga berbunga Soal: Seorang pengusaha mempunyai uang Rp 1.000.000, ditabung dengan bunga majemuk 3% pertahun. Berapakah uang tersebut setelah 5 tahun? Jawab: Po = 1.000.000 r = 3% = 0,03 n = 5 Pn = 1.000.000 (1+ 0,03)5 = 1.000.000 (1,03)5 = 1.000.000 (1,159274) = Rp 1.159.274 Bila tingkat bunga berubah dari waktu ke waktu maka: Pn = Po (1 + r1) (1 + r2) ……………(1 + rn) Misalnya: Po = 1.000.000 ; r1 = 3% ; r2 = 5% ; r3 = 6% Maka: P3 = Po (1 + r1) (1 + r2) (1 + r3) = 1.000.000 (1,03) (1,05) (1,06) = Rp 1.146.390 5. RATA-RATA HARMONIS (HARMONICE MEAN) n A. UN GROUP DATA : RH = 1/x1 + 1/x2 + …….1/xn atau : RH = n ∑ 1/Xi Contoh: Ada 3 orang pedagang membeli kayu penghapus dengan harga masing-masing sebagai berikut: A. Membeli 15.000 buah a Rp 30 = Rp 450.000 B. Membeli 45.000 buah a Rp 10 = Rp 450.000 C. Membeli 90.000 buah a Rp 5 = Rp 450.000 Jumlah 150.000 buah = Rp 1.350.000 Hitunglah: Harga rata-rata perbuah menurut Harmonice Mean ? Jawab: n RH = 1/30 + 1/10 + 1/5 = 3 0,033 + 0,1 + 0,2 = 3 0,33 = 9 (Rp 9 / buah) Atau: RH = ∑ Harga ∑ Barang = Rp 1.350.000 RP 150.000 = Rp 9 /buah B. GROUP DATA . n Rumus : RH = ∑ fi/Xi dimana : fi = Frekwensi kelas ke i Xi = Mid Point n = Banyaknya data penelitian Soal : Hasil penimbangan berat 100 Karung Beras milik P.T ABADI(dalam kg) datanya sudah diolah dalam tabel frekwensi sebagai berikut : Berat Mid Point Banyaknya ( kg ) ( Xi ) karung( fi ) fi/xi 60 - 61 60,5 2 0,0331 62 - 63 62,5 5 0,0800 64 - 65 64,5 10 0,1550 66 - 67 66,5 15 0,2256 68 - 69 68,5 25 0,3650 70 - 71 70,5 20 0,2837 72 - 73 72,5 15 0,2069 74 - 75 74,5 8 0,1074 ∑ 100 1,4567 Hitunglah : Berat Rata-rata karung tsb, menurut Rata- Rata Harmonis ? Jawab : RH = 100/ 1,4567 = 68,65 Kg 6. RATA-RATA KWADRAT (QUADRATIC MEAN) A. UN GROUP DATA Soal: Modal 6 orang Pedagang masing-masing(dalam Jutaan Rp.) sbb: A = 4 D = 7 B = 5 E = 8 C = 6 F = 9 Hitunglah : Rata-rata Modal menurut Rata-rata kuadrat data tsb ? Jawab: (4) 2 + (5)2 + (6)2 + (7)2 + (8)2 + (9)2 Qm = 6 = 271 6 = 45,167 = 6,72 ( Jutaan Rp. ) B. GROUP DATA RUMUS: Dimana: Fi = Frekwensi ke i Xi = Mid Point n = Banyaknya data Penelitian Soal: Hasil penimbangan berat 65 Karung Beras milik P.T Makmur (dalam Kg) datanya sudah diolah dalam tabel frekwensi sebagai berikut : BERAT (Kg) BANYAKNYA Karung (fi) MID POINT (xi) fi . xi 2 45 – 50 51 - 56 57 – 62 63 – 68 69 - 74 75 – 80 81 – 86 5 7 10 20 12 8 3 47,5 53,5 59,5 65,5 71,5 77,5 83,5 11281,25 20035,75 35402,50 85805 61347 48050 20916,75 ∑ 65 282838,25 Hitunglah: Quadratic Mean ? Jawab: Qm = 282838,25 65 = 4531,36 = 65,96 Kg

 BAB. IV UKURAN LOKASI DAN DISPERSI(VARIASI)

1. KWARTIL: Membagi distribusi data atas 4 bagian yang sama, dengan syarat n ≥ 4 . dan pembagiannya seperti pada kurva di bawah ini. 25% 25 % 25 % 25% Q1 Q2 Q3 A) UN GROUP DATA RUMUS: Soal: Upah untuk 13 orang karyawan PT ABADI (dalam ribuan Rp/Bulan) datanya Berdistribusi sebagai berikut : 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 95, 100, & 85 Hitunglah: Q1, Q2, & Q3? Penyelesaian: Data tersebut harus diurutkan dari angka terkecil s/d terbesar sebagai berikut :: X1 = 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50 X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 =80 X11= 85, X12 = 95, X13 =100 Q1 = Nilai ke 1 (13 + 1) = 14 = 3,5 4 4 = Nilai ke 3 = X3 + 0,5 (X4 – X3) = 40 + 0,5 (45 – 40) = 40 + 0,5 (5) = 40 +2,5 = 42,5 (Artinya : 25% dari karyawan tersebut mempunyai gaji ≤ Rp. 42.500, ) Q2 = Nilai ke 2(13 + 1) = 28 = 7 4 4 = Nilai ke 7 = X7 = 60 (Artinya : 50% dari karyawan tersebut mempunyai ≤ Rp 60.000,) B. GROUP DATA Rumus : Qi = Lo + Qi ( n )/ 4 - F . . i fQi dimana : Lo = Tepi bawah F = LCF (Frekwensi kumulatip sebelum kwartil) FQi = Frekwensi Kwartil ke i n = Banyaknya data penelitian i = Interval Soal : Gaji untuk 40 Orang karyawan P.T SEJATI( dalam Ribuan Rp/bulan ) Datanya telah diolah dalam table Frekwensi sebagai berikut : G A J I Lo/TB (Ribuan Rp) fi F =LCF 39.5 40 - 49 2 2 49,5 50 - 59 6 8 59,5 60 - 69 8 16 69,5 70 - 79 13 29 79,5 80 - 89 6 35 89,5 90 - 99 3 38 99,5 100 - 109 2 40 ∑ 40 Hitunglah : Kwartil ( Q1, Q2, Q3 ) ? Jawab : Q1 = Lo + 1(40)/4 - F x 10 FQ1 = Lo + ( 10 - 8 ) x 10 8 = 59,5 + 20/8 = 59,5 + 2,5 = 62 x Rp. 1000, = Rp. 62.000,( Artinya : 25% karyawan mempunyai gaji ≤ Rp. 62.000,) 2. DESIL : Membagi data yang sudah diurutkan atas 10 bagian yang sama, dengan syarat N ≥ 10. Dan pembagiannya seperti pada kurva dibawah ini. D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Ket : D1 s/d D9 masing-masing = 10 % A. UN GROUP DATA Rumus: Soal: Upah untuk 13 orang karyawan (dalam ribuan Rp) datanya sudah diurutkan sbb: X1 = 30 , X2 = 35, X3 = 40, X4 =45, X5 = 50 X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80 X11 = 85, X12 = 90, X13 = 100 Hitunglah Desil (D1, D2………..D9)? Jawab: 1 (13 + 1) D1 = Nilai ke = 1,4 10 = Nilai ke 1 = X1 + 0,4 (X2 – X1) = 30 + 0,4 (35-30) = 30 + 2 = 32 (10% dari karyawan tersebut mempunyai upah ≤ Rp 32.000,) 2 (13 + 1) 28 D2 = Nilai ke = = 2,8 10 10 = Nilai ke 2 = X2 + 0,8 (X3 – X2) = 35 + 0,8 (40 – 35) = 35 + 4 = 39 (20% dari karyawan tersebut mempunyai upah ≤ Rp 39.000,) B. GROUP DATA Rumus: Dimana: Lo = TB = Tepi Bawah n= Banyaknya data penelitian LCF = F = Frekwensi komulatif sebelum Desil ke i fdi = Frekwensi Desil ke i i = interval Soal: Gaji untuk 40 orang karyawan PT SEJATI…. Hitunglah: Desil (D1, D2………D9)? Jawab: 1 (40) / 10 - F D1 = Lo + . 10 Fd1 4 - 2 = Lo + . 10 6 20 = 49,5 + 6 = 49,5 + 3,33 = 52,83 (Artinya : 10% karyawan tersebut mempunyai gaji ≤ Rp 52.830,) 3. PERSENTIL : Membagi kelompok data yang sudah diurutkan menjadi 100 bagian yang sama dengan syarat n ≥ 100. Pembagiannya sebagai berikut : P1 = 1%, P2 = 2 %, …………… P99 = 99 % A. UN GROUP DATA Pi (n + 1) Rumus: Pi = Nilai ke 100 Soal: Penelitian terhadap 100 buah data masing-masing sebagai berikut: X1 = 2, X2 = 4, X3 = 6, X4 = 8, X 5 = 10 X6 = 12, X7 = 14, X8 = 16, X9 = 18, X10 = 20 : : : : :………………………………………X100 = 200 Hitunglah: P1, P2……………..P99 ? 1 (100 + 1) 101 Jawab: P1 = Nilai ke = = 1,01 100 100 = Nilai ke 1= X1 + 0,01 (X2 –X1) = 2 + 0,01 (4 - 2) = 2 + 0,02 = 2,02 (1% data penelitian nilainya ≤ 2,02) 2(100 + 1) 202 P2 = Nilai ke = = 2,02 100 100 = Nilai ke 2 = X2 + 0,02 (X3 – X2) = 4 + 0,02 (6 – 4) = 4 + 0,04 = 4,04 (2% data penelitian Nilainya ≤ 4,04) B. GROUP DATA Dimana : Pi = Persentil ke i F = LCF Fpi = Frekwensi Persentil ke i i = Interval Soal: Modal 100 Perusahaan PMDN (dalam jutaan Rp) datanya sudah diolah dalam tabel sebagai berikut : Lo = TB MODAL (JUTAAN Rp) Fi F = LCF 71,5 74,5 77,5 80,5 83,5 86,5 89,5 92,5 72 – 74 75 – 77 78 - 80 81 - 83 84 – 86 87 - 89 90 – 92 93 – 95 2 5 10 13 27 23 16 4 2 7 17 30 57 80 96 100 ∑ 100 Hitunglah : Persentil (P1, P2 ………..P99) ? Jawab : 1(100) / 100 - F P1 = Lo + . 3 F P1 1 - 0 = Lo + .3 2 = 71,5 + 3/2 = 73 (1% perusahaan mempunyai modal ≤ Rp 73.000.000) 2( 100)/100 - F P2 = Lo + . 3 FP2 2 - 0 = Lo + . 3 2 = 71,5 + 6/2 = 71,5 + 3 = 74,5 x Rp. 1.000.000, = Rp. 74.500.000, 4. DISPERSI(VARIASI) Ukuran untuk mengukur dispersi (variasi) adalah: Kalau suatu kelompok nilai sama dengan rata-rata, maka kelompok nilai itu tidak bervariasi (homogen). Dan apabila berbeda satu sama lainnya sangat besar disebut Heterogen. Serta antara homogen dan heterogen disebut Relatif Homogen (tidak terlalu bervariasi). Beberapa ukuran Dispersi meliputi: 1. Range (Nilai Jarak) 2. Mean Deviation (Rata-rata Simpangan) 3. Standard Deviation (Simpangan Baku) 4. Koefisien Variasi 1. RANGE( NILAI JARAK ) NJ = Xn – X1 = angka tertinggi – angka terendah Contoh: 20, 30, 40, 50, & 60 NJ = 60 – 20 = 40 (Sudah dibahas di BAB II) 2. MEAN DEVIATION(RATA-RATA SIMPANGAN) A. UN GROUP DATA 1. . Terhadap Rata-rata hitung _ _ RSx = 1 ∑ │ xi – x │ n Med Contoh: X1= 10, X2 = 20, X4 = 80, X5 = 100 _ 250 X = = 50 5 _ 1 Rs x = │- 40 │ + │- 30 │+ │- 10 │30 │+ │50 │ 5 1 = │ 160 │ 5 = 32 Keterangan : ││ = Harga mutlak berubah – menjadi + dan + tetap 2. Terhadap median RS Med = 1/n ∑ Xi - Med Med = 5 + 1 / 2 = 3 = X3 = 40 = 1/5 - 30 + -20 + 0 + 40 + 60 = 1/5 ( 150 ) _ = 30 . Kesimpulannya : RSx > RS med 32 > 30 B. GROUP DATA 1. Terhadap rata-rata Hitung _ _ _ RSx = 1 ∑ │ Xi – X │ X = fi.Xi / n n 2. Terhadap median n / 2 - F RS Med = 1/n ∑ Xi - Med Med = Lo + . i fmed Soal : Upah untuk 50 Orang karyawan P.T ABADI (dalam Ribuan Rp/bulan), datanya telah diolah dalam tabel sebagai berikut : _ Lo U P A H fi Xi fi.Xi Xi - X Xi - Med F (Ribuan Rp) 130 - 139 4 134,5 538 30,6 30,83 4 140 - 149 6 144,5 867 20,6 20,83 10 150 - 159 8 154,5 1236 10,6 10,83 18 159,5 160 - 169 12 164,5 1974 0,6 0,83 30 170 - 179 9 174,5 1570,5 9,4 9,17 39 180 - 189 7 184,5 1291,5 19,4 19,17 46 190 - 199 4 194,5 778 29,4 29,17 50 Σ 50 8255 120,6 120,83 _ X = 8255/50 = 165,1 Med = 159,5 + 50/2 - 18 X 10 = 165,33 12 _ _ 1. RSx = 1/50 120,6 = 2,412 Kesimpulan : RSMed > RSx 2,417 2,412 2. RS Med = 1/50 120,83 = 2,417 3. STANDARD DEVIATION (SIMPANGAN BAKU) Diantara ukuran variasi, simpangan baku yang banyak di gunakan sebab mempunyai sifat 42 Matematics (Mathematical Property) yang sangat penting untuk pembahasan teori & analisis. dan dibagi atas 2 bagian yaitu: A. Un Group Data Rumus : = 1 { ∑ xi 2 - (∑xi) 2 } n n dimana : = ﮐ Soal : Upah 3 kelompok masing-masing 5 orang di PT ABADI (dalam ribuan Rp) Datanya sebagai berikut: Kelompok I : X1 = 50, X2 = 50, X3 = 50, X4 = 50, X5 = 50 II : X1 = 50, X2 = 40, X3 = 30, X4 = 60, X5 = 70 III: X1 = 100, X2 = 40, X3 = 80, X4 =20, X5 = 10 Hitunglah: Simpangan baku data tersebut untuk masing-msaing kelompok? Penyelesaian: No Kelp I Kelp II Kelp III xi xi 2 xi xi 2 xi xi 2 1 2 3 4 5 50 50 50 50 50 2500 2500 2500 2500 2500 50 40 30 60 70 2500 1600 900 3600 4900 100 40 80 20 10 10.000 1600 6400 400 100 ∑ 250 12.500 250 13.500 250 18.500 1 = 1 { 12.500 – (250) 2 } 5 5 = 1 {12.500 – 12.500} 5 = 0 = 1 { 13.500 – (250)2 } 2 5 5 = 200 = 14,14 3 = 1/5 { 18.500, - 12.500, } = 1200 = 36,64 Jadi : Kesimpulan: 1 < 2 < 3 0 < 14,14 < 36,64 B. Group Data Cara Biasa / Pearson Rumus : Dimana: fi = Frekwensi kelas ke i Xi = Mid Point _ X = Nilai rata-rata n = Banyaknya data penelitian Soal: Upah untuk 40 orang karyawan PT SEJAHTERA (dalam Ribuan Rp/Bulan) datanya Sudah diolah sebagai berikut: - Upah Fi xi fi.xi Fi ( xi –x)2 d fid fid2 30 – 38 39 – 47 48 – 56 57 – 65 66 – 74 75 – 83 84 – 92 3 5 9 12 5 4 2 34 43 52 61 70 79 78 102 215 468 732 350 316 176 1871,2519 1276,0031 437,8556 49,2075 607,7531 1604,0025 1684,9013 -3 -2 -1 0 1 2 3 -9 -10 -9 0 5 8 6 27 20 9 0 5 16 18 40 2359 7530,9750 0 -9 95 _ 1. X = ∑ fi . Xi = 2359 = 58,975 N 40 7530,9750 2. = 40 = 188,27 = 13,72 ( Standar Deviasi cara Pearson ) 3. Standar Deviasi Short Methode ∑fid 2 _ ( ∑fid ) 2 = i n ( n ) 2 = 9 95/40 - (-9 )2 40 2 = 9 2,375 - 0,0506 = 9 x 1,5246 = 13,72 4. KOEFISIEN VARIASI Untuk membandingkan 2 kelompok-kelompok data pada 2 tempat yang berbeda ; Walaupun Nilai standard Deviasinya besar, belum tentu bervariasi atau sama. Rumus : Dimana: = Standard deviasi _ U = X (Nilai Rata-rata) 1. Untuk Populasi Atau : Dimana : KV = S x 100 % S = Standard Deviasi _ _ X X= Nilai Rata-rata 2. Untuk Sample Soal : Harga 5 buah mobil masing-masing (dalam puluhan jutaan Rp) Sbb: X1 = 4 ; X2 = 4,5 ; X3 = 5 ; X4 = 4,75 & X5 = 42,5 Dan harga 5 ekor ayam masing-masing (dalam ribuan Rp) sbb: X1 = 6 ; X2 = 8 ; X3 = 9 ; X4 = 5,5 & X5 =10 Hitunglah: 1. Standard Deviasi masing-masing (mobil dan ayam)? 2. Mana lebih bervariasi Harga mobil atau harga ayam? Penyelesaian: _ X Mobil = 1 { 4 + 4,5 + 5 + 4,75 + 4,25} 5 = 1 {2,25} 5 = 4,5 ( Puluhan Juta Rp) _ X Ayam = 1 {6 + 8 + 9 +5,5 + 10} 5 = 1 {38,5} 5 = 7,7 (Ribuan Rp) Mobil Ayam _ _ _ 1. SM = 1 ∑ (xi – x)2 (xi – x) )2 (xi – x )2 5 x1 = 0,25 x1 = 2,89 x2 = 0 x2 = 0,09 x3 = 0,25 x3 = 1,69 x4 = 0,625 x4 = 4,84 = 1 (0,625) x5 = 0,0625 x5 = 5,29 5 ∑ = 0,625 ∑ = 14,8 = 0,125 = 0,3536 SA = 1/5( 14,8) = = 1,720 2,96 2. a) KVM = S x 100% x = 0,3536 x 100% 4,5 = 7,86 % b) KVA = S x 100% x = 1,720 x 100% 7,7 = 22,34% Jadi KVA > KVM 22,34 > 7,86% Kesimpulan : Harga ayam lebih bervariasi daripada harga mobil. BAB. V KEMIRINGAN DAN KERUNCINGANNYA KURVA 1. KEMIRINGAN/KEMENCENGAN KURVA (SKEWNESS) Rumus : Dimana : _ M3 = ∑ fi (xi – x )3 n Apabila hasil : SK = 0 (Kurvanya Normal) SK > 0 (Kurvanya miring ke kanan) SK < 0 (Kurvanya miring ke kiri) 2. KERUNCINGAN KURVA (KURTOSIS) Rumus : Dimana : _ M4 = ∑ fi (xi – x )4 n Apabila hasil : Kt = 0 (Kurvanya Normal) Kt > 0 (Kurvanya Runcing) Kt < 0 (Kurvanya Tumpul) Contoh: Skewness dan Kurtosis a. Skewness : Miring ke Kanan Normal Miring ke Kiri b. Kurtosis : Runcing -3 -2 Normal -1 Tumpul Soal : Gaji untuk 40 Orang Karyawan P.T Sejahtera (dalam ribuan Rp./bulan) Datanya telah diolah sebagai berikut : _ _ _ Gaji fi Xi fiXi fi( Xi - X ) 2 fi( Xi - X ) 3 fi( Xi - X ) 4 30 - 38 3 34 102 1871,2519 -46734,516 1167194,527 39 - 47 5 43 215 1276,0031 -20384,150 325636,795 48 - 56 9 52 468 437,8556 - 3054,043 21301,950 57 - 65 12 61 732 49,2075 99,645 201,782 66 - 74 5 70 350 607,7531 6700,478 73872,772 75 - 83 4 79 316 1604,0025 32120,150 643206,005 84 - 92 2 88 176 1684,9013 48904,259 1419446,111 Σ 40 2359 7530,9750 17651,823 3650859,942 _ 1. X = Σfi.Xi/n 4. KT = M 4 _ 3 = 2359/40 S 4 = 58,975 = 3650859,942 / 40 - 3 3 = 91271,499/ (13,72) 4 – 3 2. S = 7530,975/40 2 = 2,58 - 3 = 13,72 = - 0,42 < 0 (Tumpul) 1 _ M 3 = Σfi ( xi – x ) 3 3. SK = = 17651,823/ 40 S 3 Ke = 441,296 kanan = 441,296 / (13,72) 3 = 0,17 = 0,2 > 0 (Kurvanya miring ke kanan) Ket : Membelakangi Lensa/kamera BAB. VI DISTRIBUSI BINOMIAL Dari suatu Distribusi Binomial yang perlu dihitung adalah: 1. Rata-rata Hitung Probabilitas Binomial Rumus: Dimana : n = banyaknya data observasi/penelitian P = Probabilitas 2. Standard Deviasi Distribusi Binomial Rumus: Dimana: Q = 1- p Soal: Bila sebuah dadu dilemparkan sebanyak 4 kali (x) Berapakah: 1. Rata Hitung Probabilitas mata 6 yang dihasilkan 2. Standard Deviasinya? Penyelesaian: Q = 1 – p → p = 1/6 , n = 4 = 1 –1/6 = 5/6 1. U = n . p = 4 x 1/6 = 4/6 = 0,67 2. S = n . p . Q = 4. 1/6 . 5/6 = 0,555 = 0,74 4. Jika dua buah mata dadu dilemparkan secara bersama-sama(Kejadian Saling Lepas sebab benda padat), maka P (AUB) = P (A) + P (B) A + B 1 2 3 4 5 6 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,5 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 - Prob. Jumlah mata 2 (yaitu 1,1) =1/36 - Prob. Jumlah mata 3 (yaitu 2,1 & 1,2) = 2/36. dst Jika keduanya dilemparkan sebanyak 50x Berapakah: 1. Rata-rata Prob. Binominal jumlah mata 3 yang dihasilkan 2. Rata-rata Prob. Jumlah mata 4 & 5 yang dihasilkan dan Standard Deviasi masing-masing tersebut diatas? Jawab: 1. U = n . p → p∑ mata 3 = 2/36 = 50 . 2/36 S = 50 . 2/36 . 34/36 = 100/36 = 2,78 = 1,62 2. Untuk P ∑ mata 4 (3,1; 2,2; &1,3) = 3/36 U = n . p S = 50 . 3/36 .33/36 = 50 . 3/36 = 4,17 = 1,95 3. Untuk P ∑ mata 5 = 4/36 U = n . p S = 50 . 4/36 .32/36 = 50 . 4/36 = 5,56 = 2,22 4. Jika 3 buah dilemparkan secara bersama-sama maka akan terjadi: A 36 B A C 3 X 2 = 6 6 X 36 = 216 Kemungkinan C A B 5. Jika 4 buah dilemparkan secara bersama-sama, maka akan terjadi: A B C D A A C B 4 X 3 = 12 D 12 X 36 = 432 Kemungkinan A D B C 6. Jika 5 buah dadu dilemparkan secara bersama, maka akan terjadi: A B A C C 5 X 4 = 20 D 20 X 36 = 720 Kemungkinan D E E 7. Dan seterusnya. 2. DISTRIBUSI POISSON Jika suatu persoalan dimana banyaknya data observasi (n) terlalu besar dan Probabilitas (p) terlalu kecil, dapat digunakan fungsi Poisson sebagai pendekatan atau penyelesaiannya. Rumus Distribusi Poisson sebagai berikut: Dimana: U = Rata Hitung Distribusi E = 2,71828 (Konstan) X = 1, 2, 3…. SOAL: Seorang pengusaha yang akan menjual sebuah rumah mewah dengan memasang Adpertensi melalui surat kabar yang dapat mencapai 100.000 pembaca dengan probabilitas Seorang pembaca menanyakan keadaan rumah sebesar P = 1/50.000 Hitunglah: P (x = 1) ; P (x = 2)……………….P (x = 9)? Penyelesaian: U = n . p = 100.000 x 1/50.000 = 2 1. p (x = 1) = U x . E –2 = 2 1 (2,71828)-2 = 2. (0.1353) = 0,2706 x ! 1! 2. p (x = 2) = 22 (2,71828) –2 = 4 (0,1353) = 0,2706 : 2 ! 2 : 9. p (x = 9) = 29 (2,7128) -2 = 512(0,1353) = 0,0002 9.8.7.6.5.4.3.2.1 362880 3. DISTRIBUSI NORMAL Adalah merupakan Distribusi Probabilitas teoritis untuk variable yang kontinue atau terus- menerus. Batas luas dibawah Kurva Normal telah ditentukan pada table Kurva Normal dari -39 s/d 3,9 dan Kurva Normal berguna untuk: 1. Sampling Distribution (Distribusi Sampling) 2. Quality Control (Pengawasan Mutu) _ Rumusnya: X - X Z = S Dimana: Z =Standard Distribusi Normal (-3,9 ≤ Z ≤ 3,9) X = Nilai awal atau akhir _ X = Nilai rata-rata S = Standard Deviasi (Simpangan Baku) Contoh : Gambar Kurva Normal 50% 50% -3,9 0 3,9 Pada tabel Kurva Normal hanya terdapat dibagian yang Positif, sedangkan pada bagian yang Negatif cara perhitungannya sama dengan bagian yang Positif, tetapi hasilnya dibawah rata-rata sama dengan Negatif (-). Apabila hasil Z > 3,9 maka distribusi data tersebut tidak Normal, atau hasil Z < - 3,9 maka Distribusi data tersebut juga tidak Normal. Soal: PT. SUMBER SEJAHTERA mempunyai 500 orang karyawan dengan gaji mereka Rata-rata perbulan Rp. 80.000, dan berdistribusi Normal dengan Standard Deviasi Rp 5000, A. Hitunglah: 1. Banyaknya karyawan yang mempunyai gaji dari Rp.80.000 s/d Rp.90.000 2. Gambarlah kurvanya. Penyelesaian : _ N = 500, X = 80.000 ; X1 = 80.000 ; X2 = 90.000 S = 5000 _ 1. Z1 = X1 – X = 80.000 – 80.000 = 0 S 5000 _ Z2 = X2 – X = 90.000 – 80.000 = 2 pada S 5000 Tabel = 0,4772 x 100% = 47,72% Luas dari Z1 s/d Z2 = 0 + 47,72% = 47,72 %, maka banyaknya karyawan yang mempunyai gaji dari Rp. 80.000 s/d Rp.90.000 = 47,72 /100 x 500 orang = 238,6 = 239 orang 2.Kurvanya: 47,72% 0 1 2 B. Gaji karyawan dari Rp.70.000 s/d 85.000 Hitunglah : 1. Banyaknya karyawan yang mempunyai gaji tersebut diatas? 2. Gambarlah kurvanya? Penyelesaian: _ 1. Z1 = X1 – X = 70.000 – 80.000 = - 2 pada S 5000 tabel = 0,4772 x 100% = 47,72% _ Z2 = X2 – X = 85.000 – 80.000 = 1 pada S 5000 tabel = 0,3413 x 100% = 34,13% Luas dari Z1 s/d Z2 = 47,72% + 34,13% = 81,85% Maka banyaknya karyawan yang mempunyai gaji tersebut diatas = 81,85 / 100 x 500 orang = 409 orang 2. Kurvanya: 81,85% -2 -1 0 1 C. Jika karyawan yang mempunyai gaji dari Rp. 65.500 s/d 75.500. Hitunglah : 1. Banyaknya karyawan yang mempunyai gaji tersebut? 2. Gambarlah kurvanya? Jawab: _ 1. Z1 = X1 – X = 65.500 – 80.000 = -2,9 pada S 5000 tabel = 0,4981 x 100% = 49,81% _ Z2 = X2 – X = 75.500 – 80.000 = -0,9 pada S 5000 tabel = 0,3159 x 100% = 31,59% Luas daerah Z1 s/d Z2 = 49,81% - 31,59% = 18,22%, maka banyaknya karyawan yang mempunyai gaji tersebut diatas 18,22/100 x 500 orang = 91 orang 3. Kurvanya: 18,22% -3 -2 - 1 0 D. Jika karyawan yang mempunyai gaji dari Rp.81.500 s/d 95.500. Hitunglah : 1. Banyaknya karyawan yang mempunyai gaji tersebut ? 2. Gambarlah kurvanya? Jawab: _ Z1 = X1 –X = 81.500 - 80.000 = 0,3 pada tabel S 5000 = 0,1179 x 100% = 11,79% _ Z2 = X2 - X / S = 95.500, - 80.000, /5000, = 3,1 pada tabel = 0,4990 x 100% = 49,90 % Luas daerah pada kurva Normal dari Z2 s/d Z1 = 49,90% - 11,79%= 38,11% Banyaknya karyawan yang mempunyai gaji tsb = 38,11/100 x 500 Orang =191 Orang Kurvanya : 38,11% 0 1 2 3 Z1=0,3 Z2= 3,1 E. Jika gaji karyawan ≤ Rp.76.500, Hitunglah : 1. Banyaknya karyawan ? Gambarlah :2.Kurvanya ? Jawab : 1. Z1 = 76.500, - 80.000, / 5000, = -0,7 pada tabel = 0,2580 x 100% = 25,80%. Luas daerah sebelah kiri Z1 = 50% - 25,80 % = 24,20 % Maka banyaknya karyawan yang mempunyai gaji tersebut = 24,20/100 x 500 Orang = 121 Orang. 2. Kurvanya: 24,20% -3 -2 -1 0 -0,7 F. Jika gaji Karyawan < Rp. 76.500 Hitunglah : 1. Banyaknya Karyawan yang mempunyai gaji tersebut ? 2.Gambar Kurvanya ? Jawab : 1. Banyaknya Karyawan = 121 Orang - 1 Orang = 120 Orang Kurvanya : -3 -2 -1 0 Z1 < -0,7 G. Jika gaji karyawan ≥ Rp. 82.500 Hitunglah : 1. Banyaknya karyawan yang mempunyai gaji tersebut? 2. Gambarlah kurvanya? Jawab: Z1 = 82.500 – 80.000 = 0,5 pada tabel = 0,1915 x100% 5000 = 19,15% Luas daerah sebelah kanan Z1 pada kurva Normal 50% - 19,15% = 30,85%. Maka banyaknya karyawan yang mempunyai gaji tersebut diatas 30,85/100 x 500 orang = 154 orang. Kurvanya: 30,85% 0 1 2 3 Z1=0,5 H. Jika gaji karyawan > Rp.82.500 Maka banyaknya karyawan = 154 orang - 1 orang = 153 orang Kurvanya: 0 1 2 3 Z1 > 0,5 I. Jika 5% karyawan yang bergaji agak tinggi akan memperoleh kredit kendaraan Berapakah: 1. Gaji minimal dari yang bergaji tinggi? 2. Banyaknya karyawan ? 3. Kurvanya ? Jawab: Luas daerah sebelah kanan Z1 = 50% - 5% = 45% 1. 45/100 = 0,45 pada tabel = 1,64 Z1 = X – 80.000,/ 5000 1,64 = X – 80.000, 5000, (1,64 x 5000) = (X – 80.000) 8200 = X– 80.000 8200 + 80.000 = X X = 88.200 Maka gaji minimal untuk memperoleh kredit kendaraan = Rp.88.200, 2. Banyaknya karyawan 5% x 500 orang = 25 orang 3. Kurvanya: 5% 0 1 2 3 1,64 BAB. VII REGRESI (TREND) LINEAR DAN BUKAN LINEAR 1. TREND LINEAR: Menggambarkan perkembangan suatu kejadian secara teratur Baik mengalami kemajuan maupun kemunduran suatu usaha/ Perusahaan. TREND LINEAR dapat digambarkan dalam bentuk Grafik Garis Lurus yang naik a. Disebut : Increasing Contoh : y y ! x Dan Grafik Garis Lurus yang turun b. Disebut : Decreasing Contoh : y y! x Perhitungan secara Matematic : y ! = a + bxi Dimana : y 1 = Nilai trend yang akan ditaksir Xi = periode (waktu ke i) a&b = Konstan dan dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan Normal sebagai berikut : 1) a . n + b ∑ X = ∑ Y 2) a ∑ X + b∑ X2 =∑ X Y Soal: PT. ABADI mempunyai data hasil penjualan tahun1980 s/d 1985 (dalam jutaan Rp) sbb: Tahun Hasil Penjualan (Jutaan Rp) 1980 1981 1982 1983 1984 1985 6 5 9 7 13 12 Hitunglah: 1. Trend Linear data PT. ABADI tersebut? 2. Penaksiran penjualan tahun 1986 & 1987 Gambarlah:3. Grafiknya apakah Increasing atau Decreasing? Penyelesaian: Th x X2 Y X . Y 1980 1981 1982 1983 1984 1985 0 1 2 3 4 5 0 1 4 9 16 25 6 5 9 7 13 12 0 5 18 21 52 60 ∑ 15 55 52 156 Persamaan Normal: 1) 6 a + 15 b = 52 x 2,5 2) 15 a + 55 b = 156 x 1 menjadi: 1) 15 a + 37,5 b = 130 2) 15 a + 55 b = 156 (-) - 17,5 b = -26 b = -26 = 1,485 = 1,49 - 17,5 Hasil b masukan ke persamaan 1 6 a + 15 b = 52 6 a + 15 (1,49) = 52 6 a = 52 – 22,35 6 a = 29,65 a = 29,65 = 4,94 6 1. Trend Linear PT. ABADI y 1 = a + b xi = 4,94 + 1,49 xi 2. Penaksiran: a) Th 1986 → xi = 6 Y 1 = 4,94 + 1,49 (6) = 4,94 + 8,94 = 13,88 → (Rp. 13.880.000) b) Th 1987 → xi = 7 Y1 = 4,94 + 1,49 (7) = 4,94 + 10,43 = 15,37 → (Rp.15.370.000) 3. Grafiknya : Th dasar xi = 0 y1 = a = 4,94 Th penaksiran terakhir = 15,37 JUMLAH 16 Trendnya (Jutaan Rp. ) 15,37 14 . 12 . Garis Penjualan sebenarnya 10 . 8 . 6 4,94 . 4 2 0 1980 81 82 83 84 85 86 87 TAHUN Contoh : DEACREASING Ada perusahaan yang mengalami kemajuan produksi dan penjualan yang Grafiknya naik, dan ada pula Perusahaan yang mengalami kemunduran produksi dan penjualan yang mengakibatkan Grafiknya turun. Trend untuk Deacreasing sama dengan Trend untuk Increasing yaitu: Y ! = a + b x i Dengan persamaan Normal untuk menghitung a dan b sebagai berikut: Cara I 1. a n + b ∑ X = ∑ Y 2. a ∑ X + b∑ X2 = ∑ X Y Atau : Cara II 1. b = n ∑ X Y –(∑ X) (∑ Y) n ∑ X2 - ( ∑ X)2 2. a = ∑ Y - b ∑ X n n Soal: PT. Tunggal Jaya sejak didirikan tahun 1981 berkembang dengan baik, tetapi kemudian mengalami kemerosotan penjualan seperti pada tabel di bawah ini: TH Penjualan (Jutaan Rp) 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 180 190 200 170 140 120 80 Hitunglah: 1. Trend Linear PT tersebut ? 2. Penaksiran penjualan : Th 1988, 1989, 1990 & 1991 3. Grafiknya ? Penyelesaian : THN X X2 Y X Y 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 0 1 2 3 4 5 6 0 1 4 9 16 25 36 180 190 200 170 140 120 80 0 190 400 510 560 600 480 ∑ 21 91 1080 2740 Persamaan Normal: Cara I 1) 7 a + 21 b = 1080 x3 2) 21 a + 91 b = 2740 x1 menjadi: 1) 21 a + 63 b = 3240 2) 21 a + 91 b = 2740 (-) 0 - 28 b = 500 b = 500 = -17,86 - 28 Hasil b dimasukan pada persamaan 1 7 a + 21 b = 1080 7 a + 21 (-17,86) = 1080 7 a = 1080 + 375,06 a = 1455,06 7 a = 207,87 Atau : Cara II 1) b = n∑ X Y – (∑ X) (∑ Y) n ∑ X2 - (∑ X )2 = 7 (2740) – (21) (1080) 7 (91) - (21)2 = 19180 – 22680 = -3500 = -17, 86 637 – 441 = 196 2) a = ∑ Y - b∑ X = 1080 – (-17,86) (21) n n 7 7 = 154,29 + 53,58 = 207,87 1. Trend Linear PT Tungga Jaya: y! = a + b xi = 207,87 + (-17,86) xi = 207,87 – 17,86 xi 2. Penaksiran Penjualan: a) Th 1988 → xi = 7 b) y1 = 207,87 – 17,86 xi = 207,87 – 17.86 (7) = 207,87 – 125,02 = 82,85 b) Th 1989 → xi = 8 y1= 207,87 – 17,86 (8) = 64,99 c) Th 1990 → xi = 9 y1 = 207,87 – 17,86 (9) = 47,13 d) Th 1991 → xi = 10 y1 = 207,87 – 17,86(10) = 29,27 3. Grafiknya: 200 . . . 150 . . 100 . Garis Penjualan sebenarnya 50 Trendnya 0 1981 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 Tahun 2. STANDARD ERROR Adalah Standard yang dipakai untuk mengukur sejauh mana Ketelitian Fungsi Penaksiran (Forecasting) di buat, berdasarkan selisih antara data sebenarnya dengan penaksiran tahun sebelumnya atau sudah lewat . Rumus: Dimana: Y = data sebenarnya Y1 = data penaksiran tahun yang sudah lewat n = jumlah waktu/ periode SE < 5 baik, SE > 5 kurang baik Soal: Data penjualan PT. MAKMUR (dalam jutaan Rp) dari tahun 1981 s/d1989 sbb: Thn Hasil Penjualan (Jutaan Rp) 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 30 46 58 64 77 95 111 123 133 Berdasarkan data tersebut diatas : Hitunglah: 1. Trend Linear PT. Tersebut? 2. Penaksiran penjualan Th 1990 & 1991 3. Penaksiran penjualan Th yang sudah lewat (1981 s/d 1989)? 4. Standard Errornya? 5. Gambarlah grafiknya Penyelesaian : No. Thn X X2 Y XY Y1 Y – Y1 (Y - Y1) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 4 9 16 25 36 49 64 30 46 58 64 77 95 111 123 133 0 46 116 192 308 475 666 861 1064 29,89 42,89 55,89 68,89 81,89 94,89 107,89 120,89 133,89 0,11 3,11 2,11 -4,89 -4,89 0,11 3,11 2,11 -0,89 0,0121 9,6721 4,4521 23,9121 23,9121 0,0121 9,6721 4,4521 0,7921 ∑ 36 204 737 3728 76,8889 Persamaan Normal : b = n ∑ X Y – (∑ X) (∑ Y) n ∑ X2 - (∑ X) 2 = 9 (3728) – (36) (737) 9 (204) - (36)2 = 7020 540 = 13 a = ∑ Y – b ∑ X n n = 737 - 13 (36) 9 9 = 81,89 – 52 = 28,89 1. Trend Linear PT. ABADI Y! = a + b xi = 28,89 +13 xi 2. Penaksiran a) Th 1990 → xi = 9 y1 = 29,89 + 13 (9) = 146,89 b) Th 1991 → xi = 10 y1 = 29,89 + 13 (10) = 159,89 3. Penaksiran Th yang sudah lewat a) Th 1981 → xi = 0 y1 = 29,89 + 13 (0) = 29,89 b) Th 1982 → xi = 1 y1 = 29,89 + 13 (1) = 42,89 c) Th 1983 → xi = 2 y1 = 29,89 + 13 (2) = 55,89 d) Th 1984 → xi = 3 y1 = 68,89 e) Th 1985 → xi = 4 y1 = 81,89 f) Th 1986 → xi = 5 y1 = 94,89 g) Th 1987 → xi = 6 y1 = 107,89 h) Th 1988 → xi = 7 y1 = 120,89 i) Th 1989 → xi = 8 y1 = 133,89 67 4. SE = 76,8889 9 = 8,54 = 2,92 < 5 (baik / diterima) 5. GRAFIKNYA JUMLAH (Jutaan Rp) 180 160 Trendnya 140 159,89 * Garis penjualan sebenarnya 120 * * 100 * 80 * * 60 .* * 40 29,89 20 0 1981 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 TAHUN Keterangan : Increasing 3. REGRESI (TREND) LINEAR BERGANDA Yang dimaksudkan Trend Linear Berganda adalah Faktor Variable bebas lebih dari satu dan bukan garis Trendnya lebih dari satu. Persamaan Garis Regresi (Trend) Linear Berganda Dimana: Y1 = Nilai Trend yang akan ditaksir CARA I. a = determinan A1 ; b1 = det. A2 ; b2 = det. A3 determinan A det. A det. A a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a 33 det. A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21 – a31 a22 a13 – a21 a12 a33 – a11 a23 a32 Dengan persamaan Normal untuk menghitung: a, b1 & b2 sbb: 2) an + b1 ∑ X1 + b2∑ X2 = ∑ Y 3) a ∑ X1 + b1∑ X12 + b2∑X1 X2 = ∑ X1.Y 4) a ∑ X2 + b1∑ X1.X2 + b2 ∑ X2 2 =∑ X2.Y Hanya satu cara, tidak ada cara dua untuk menghitung a, b1 dan b2; tetapi kemudian dimasa yang akan datang ada yang membuat jalan lain dengan hasil yang sama, maka itu benar dan merupakan cara dua dan seterusnya. Soal: Suatu penelitian dilakukan terhadap 8 rumah tangga yang dipilih secara Random di sebuah kabupaten datanya Sebagai berikut: X1 12 16 14 10 12,5 15 11 13 X2 2 4 3 4 4 6 5 2 Y 10 14 8 10 12 16 12 10 Ket : X1 = Pendapatan (Puluhan Ribu Rp / bulan) X2 = Jumlah anggota keluarga (Orang) Y = Pengeluaran (Puluhan Ribu Rp / bulan) Jika sebuah Rumah Tangga berikutnya mempunyai pendapatan Rp.150.000/bulan Dan jumlah anggota keluarga = 4 orang (X1 = 15 & X2 = 4). Hitunglah: 1. Trend Linear berganda data tersebut ? 2. Penaksiran pengeluaran minimal (y1) perbulan untuk Kebutuhan pokok rumah tangga tersebut? Penyelesaian: No X1 X2 Y X1 . Y X2 . Y X1 . X2 X12 X22 1 2 3 4 5 6 7 8 12 16 14 10 12,5 15 11 13 2 4 3 4 4 6 5 2 10 14 8 10 12 16 12 10 120 224 112 100 150 240 132 130 20 56 24 40 48 96 60 20 24 64 42 40 50 90 55 26 144 256 196 100 156,25 225 121 169 4 16 9 16 16 36 25 4 ∑ 103,5 30 92 1208 364 391 1367,25 126 Persamaan Normal: 1) 8 a + 103,5 b1 + 30 b2 = 92 2) 103,5 a + 1367,25 b1 + 391 b2 = 1208 3) 30a + 391 b1 + 126 b2 = 364 8 103,5 30 92 103,5 30 A = 103,5 1367,25 391 ; A1 = 1208 1367,25 391 30 391 126 364 391 126 8 92 30 8 103,5 92 A2 = 103,5 1208 391 ; A3 = 103,5 1367,25 1208 30 364 126 30 391 364 Det. A = 1378188 + 1214055 + 1214055 – 1230525 – 1349743,5 – 1223048 = 2981,5 Det. A1 = 15849162 + 14730534 + 14166940 – 14930370 – 15753528 – 14065052 = 586 Det. A2 = 1217664 + 1079160 + 1130220 – 1087200 – 1199772 – 1138592 = 1480 Det. A3 = 3981432 + 3750840 + 3723102 – 3773610 – 3899259 – 3778624 = 3881 a = det. A1 586 = = 0,1965 det. A 2981,5 b1 = det. A2 1480 = = 0,4964 det A 2981,5 b2 = det. A3 3881 = = 1,3017 det. A 2981,5 1. Trend Linear berganda data tersebut: y1 = a + b1 X1 + b2 X2 = 0,1965 + 0,4964 X2 + 1,3017 X2 2. Penaksiran : X1 = 15 & X2 = 4 Y1 = 0,1965 + 0,4964 (15) + 1,3017 (4) = 0,1965 + 7,446 + 5,2068 = 12,8493 = (Rp.128.493/bulan) Saldo = Pendapatan - Pengeluaran = Rp. 150.000, - Rp. 128.493, = Rp. 21.507, ( Tabungan ) REGRESI LINIER BERGANDA CARA 2. Rumus : Y! = a + b1X1 + b2X2 I. Perhitungan Skore rata-rata sebagai berikut : X1 = Σ X1/n = 103,5 / 8 = 12,94 X2 = Σ X2 / n = 30 / 8 = 3,75 Y = Σ Y / n = 92 / 8 = 11,5 II. Perhitungan Penyimpangan ( deviasi ) sebagai berikut : 1. Σ X12 = Σ X1 2 - ( Σ X1 ) 2 / n = 1367,25 - ( 103,5) 2 / 8 = 1367,25 - 1339,03 = 28,22 2. Σ X22 = Σ X22 - ( Σ X2 ) 2 / n 71 = 126 - ( 30 ) 2 / 8 = 126 - 112,5 = 13,5 3. Σ Y2 = Σ Y2 - ( Σ Y ) 2 / n = 1104 - ( 92 ) 2 / 8 = 1104 - 1058 = 46 4. Σ X1Y = Σ X1Y - ( Σ X1) . ( Σ Y ) / n = 1208 - (103,5) ( 92) / 8 = 1208 - 1190,25 = 17,75 5. Σ X2Y = Σ X2Y - ( Σ X2) ( ΣY) / n = 364 - ( 30 ) ( 92 ) / 8 = 364 - 345 = 19 6. Σ X1X2 = Σ X1X2 - ( Σ X1) ( Σ X2) / n = 391 - (103,5) ( 30) / 8 = 391 - 388,13 = 2,87 ( Σ X2 2) ( ΣX1Y ) - ( Σ X1.X2 ) ( Σ X2Y ) b1 = ( ΣX12 ) ( ΣX2 2 ) - ( Σ X1X2 ) 2 ( 13,5 ) ( 17,75 ) - ( 2,87 ) ( 19 ) = (28,22 ) ( 13,5 ) - ( 2,87 ) 2 = 239,63 - 54,53 = 185,1 380,97 - 8,24 372,73 = 0,4966 = 0, 497 ( Σ X12 ) ( ΣX2Y ) - ( Σ X1.X2 ) ( Σ X1Y ) 72 b2 = ( ΣX12 ) ( ΣX22 ) - ( Σ X1X2 ) 2 ( 28,22 ) ( 19 ) - ( 2,87 ) ( 17,75 ) = (28,22 ) ( 13,5 ) - ( 2,87 ) 2 = 536,18 - 50,94 = 485,24 380,97 - 8,24 372,73 = 1,3019 = 1,302. a = Y - b1X1 + b2X2 = 11,5 - 0,497( 12,94 ) + 1,302( 3,75 ) = 11,5 - 6,43 + 4,88 = 11,5 - 11,31 = 0, 19 1. Trend Linier berganda data tersebut : Ỳ = a + b1X1 + b2X2 = 0,19 + 0,497 X1 + 1,302 X2 2. Penasiran 2 rumah tangga berikutnya yang mempunyai : a). X1 = 15 dan X2 = 4 b). X1 = 15 dan X2 = 8 Jawab: a). Penaksiran X1 = 15 dan X2 = 4 Ỳ = 0,19 + 0,497 ( 15 ) + 1,302 ( 4 ) = 0,19 + 7,455 + 5,208 = 12,853 x Rp. 10.000, = Rp 128.530, ( Saldo = Pendapatan - Pengeluaran ) = Rp. 150.000, - Rp128.530, = Rp. 21.470, (Tabungan ) b). Penaksiran X1 = 15 dan X2 = 8 Ỳ = 0,19 + 0,497 ( 15 ) + 1,302 ( 8 ) = 18,061 x Rp. 10.000, = Rp 180.610, ( Saldo = Pendapatan - Pengeluaran ) = Rp. 150.000, - Rp180.610, = - Rp. 30.610, (Utang) 4. TREND NON LINEAR 73 Trend Kwadratic (Para Bola) Persamaan Garis Trendnya sbb: y1 = a + bx+ cx 2 Persamaan ini hampir sama, seperti Trand Linear berganda yaitu: y1 = a + b1x1 + b2 x2 Dimana: b1 = b b2 = c x1 = x x2 = x2 Dengan persamaan Normal untuk menghitung : a, b & c sbb: 1) an + b∑ x + c∑ x2 = ∑ Y 2) a∑ x + b ∑ x2 + c∑ x3 = ∑ X Y 3) a∑ x2 + b ∑ x3 + c∑ x4 =∑ X2 Y Soal: 1. Periode (n = Ganjil) Hasil penjualan PT. Sinar Surya selama 7 tahun terakhir sbb: Thn Hasil Penjualan (Jutaan Rp) 1984 62 1985 76 1986 92 1987 105 1988 112 1989 131 1990 150 Berdasarkan data tsb diatas: Hitunglah : 1. Trend Kwadratic data tsb? 2. Penaksiran penjualan Th 1991 & 1992 Penyelesaian: TH X Y X2 X3 X4 X Y X2 Y 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 -3 -2 -1 0 1 2 3 62 76 92 105 112 131 150 9 4 1 0 1 4 9 -27 -8 -1 0 1 8 27 81 16 1 0 1 16 81 -186 -152 -92 0 112 262 450 558 304 92 0 112 524 1350 ∑ 0 728 28 0 196 394 2940 Persamaan Normal: 1) 7a + 0 +28 c = 728 2) 0 + 28 b + 0 = 394 → b = 394 = 14,07 28 3) 28a + 0 + 196c = 2940 Persamaan 1 & 3 1) 7a + 28c = 728 x4 3) 28a + 196c = 2940 x1 Menjadi: 1) 28a + 112c = 2912 3) 28a + 196c = 2940 (-) 0 - 84c = -28 c = -28 = 0,33 -84 Hasil c masukkan ke persamaan 1 7a + 28c = 728 7a + 28 (0,33) = 728 7a = 728 – 9,24 a = 718,76 = 102,68 7 1. Trend Kwadratic data tsb: y1 = a + bx + cx2 = 102,68 + 14,07x + 0,33 x2 2. Penaksiran a) Th 1991→ xi = 4 → y1 = 102,68 + 14,07 (4) + 0,33 (4)2 = 102,68 + 56,28 + 5,28 = 164,24 b) Th 1992 → xi = 5 → y1 = 102,68 + 14,07 (5) + 0,33 (5)2 = GRAFIK n = Ganjil Y Trendnya * 180 * 160 * 140 * 120 * 100 * * 80 * 60 40 20 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X 1984 85 86 87 88 89 90 91 92 Tahun Soal: 2. Periode (n = Genap) ; maka X = bilangan ganjil Produksi padi sebuah propinsi di Indonesia dari tahun 1985 s/d 1990 sbb: Th Hasil Produksi (Jutaan Ton) 1985 2 1986 5 1987 8 1988 15 1989 26 1990 37 Hitunglah: 1. Trend Kwadratic data tsb? 2. Penaksiran Produksi Th 1991 & 1992 ? Penyelesaian: Th X Y X2 X3 X4 X Y X2 Y 1985 1986 1987 1988 1989 1990 -5 -3 -1 1 3 5 2 5 8 15 26 37 25 9 1 1 9 25 -125 -27 -1 1 27 125 625 81 1 1 81 625 -10 -15 -8 15 78 185 50 45 8 15 234 925 ∑ 0 93 70 0 1414 245 1277 Persamaan Normal: 1) 6a + 0 + 70c = 93 2) 0 + 70b + 0 = 245 → b = 245 / 70 = 3,5 3) 70a + 0 +1414c = 1277 Persamaan 1 & 3 1) 6a + 70c = 93 x 20,2 (samakan c) 3) 70a + 1414c = 1277 x 1 Menjadi: 1) 121,2a + 1414c = 1878,6 70 a + 1414c = 1277 (-) 51,2 a = 601,6 a = 601,6 = 11,75 51,2 Hasil a dimasukan ke persamaan 1 6a + 70c = 93 6(11,75) + 70c = 93 70c = 93 - 70,5 c = 22,5 / 70 =0,32 1. Trend Kwadratic data tersebut : Y! = a + bX + CX 2 = 11,75 + 3,5 X + 0,32 X 2 2. Penaksiran : a. Tahun 1991 Xi = 7 y! = 11,75 + 3,5 (7) + 0,32( 7) 2 = 11,75 + 24,5 + 15,68 = 51,93 b. Tahun 1992 Xi = 9 y! = 11,75 + 3,5 + 0,32( 9) 2 = 69,17 GRAFIK n = Genap JUMLAH 70 Trendnya * 60 50 * 40 * 30 * 20 * 10 * * * -5 -3 -1 1 3 5 7 9 X 1985 86 87 88 89 90 91 92 TAHUN BAB. VIII ANALISA KORELASI 1 .Pentingnya Analisa Hubungan 2 Koefisien Korelasi dan Kegunaannya 3. Koefisien Korelasi Rank 4. Koefisien Korelasi data berkelompok 5. Koefisien Korelasi data kwalitatip 1.Pentingnya Analisa Hubungan Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri akan tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain misalnya: dengan tetangga, kawan kantor, pegawai Bank, dan lain-lainnya untuk memenuhi kebutuhan hidup. Dalam setiap hubungan ada factor penyebabnya misalnya: 1. Merosotnya hasil penjualan, mungkin karena menurun biaya adpertensi. 2. Menurunnya penjualan textil, mungkin karena kalah saingan dengan Textil import. 3. Menurunnya penerimaan devisa, nungkin mutu barang eksport kurang baik, dll Dari uraian diatas menunjukkan adanya hubungan (Korelasi) antara kejadian yang satu dengan kejadian yang lainnya. Kejadian ini dapat dinyatakan dengan perubahan nilai variable, misalnya: X = Variable harga, maka naik atau turunnya harga dapat dinyatakan perubahan nilai X. Apabila Y = Variable Hasil Penjualan, maka naik atau turunnya Hasil penjualan Dinyatakan perubahan Y. Hubungan antara 2 variable ada yang positip dan ada yang negatif, ringkasnya sbb A. Hubungan Positip X = Naik ; Y = Naik Atau: X = Turun ; Y = Turun Dapat digambarkan sbb: Atau : X Y X Y B. Hubungan Negatip X = Naik ; Y = Turun atau X = Turun ; Y = Naik Dapat digambarkan sbb: Atau X Y X Y C. Hubungan X dan Y dapat digambarkan dalam bentuk Scatter Diagram Positip Dan Negatip sbb: 1. Scatter Diagram Positip Soal: X 1 2 4 6 7 8 9 10 Y 1 4 5 7 8 10 11 12 Gambarnya : Y 14 12 * * 10 * 8 * * 6 * 4 * 2 * 0 2 4 6 8 10 12 14 X Keterangan : Scatter Diagram Positip 2. Scatter Diagram Negatip Soal: X 2 4 6 8 10 12 14 Y 15 14 12 10 8 4 2 Y Gambarnya: 16 * 14 * 12 * 10 * 8 * 6 4 * 2 * 0 2 4 6 8 10 12 14 X Keterangan : Scatter Diagram Negatip Apabila tidak ada hubungan, maka bentuk Scatter Diagramnya tidak teratur. Artinya: Naik atau turunnya X pada umumnya tidak diikuti oleh kenaikan Atau penurunan Y. Dapat dikatakan X dan Y tidak berkorelasi bentuk grafiknya sbb: Atau r = 0 Ket : Scatter Diagram tidak teratur 2.KOEFISIEN KORELASI DAN KEGUNAANNYA Kuat atau tidaknya Hubungan antara X & Y dapat dinyatakan /diukur dengan Suatu Nilai yang disebut: Koefisien Korelasi (r) Besarnya r dapat dirumuskan Sbb: Jika hasil : r = 0,9 s/d 1 (Hubungannya sangat kuat & +) r = 0,6 s/d 0,8 (Cukup kuat dan positip) r = 0,5 (Hampir cukup kuat & positip) r = 0,1 s/d 0,4 (Kurang kuat, tetapi positip) r = 0 (Tidak ada hubungan) Sebaliknya: r = - 0,9 s/d - 1 (Hubungan sangat kuat dan Negatip) r = - 0,6 s/d -0,8 ( Hubungan cukup kuat dan Negatip) r = - 0,5 ( Hubungan hampir cukup kuat & Negatip) r = - 0,1 s/d -0,4 ( Hubungan kurang kuat & Negatip) r = 0 (Tidak ada hubungan) Rumus Koefisien Korelasi: 1. dimana: _ _ xi = Xi – X ; yi = Yi - Y _ ∑ xi _ ∑ Yi X = n Y = n atau: 2. Kedua Rumus ini disebut Koefisien Korelasi Pearson. 3. KP = Koefisien Penentuanyaitu Besarnya r dinyatakan dalam prosen. Soal: PT. Wiratex mempunyai data hasil penjualan yang dapat meningkat, karena Adanya biaya Adpertensi yang dikeluarkan (dalam jutaan Rp) datanya sbb: X 1 2 4 5 7 9 10 12 Y 2 4 5 7 8 10 12 14 Ket: X = Biaya Adpertensi (Jutaan Rp) Y = Hasil Penjualan (Jutaan Rp) Hitunglah: 1. Koefisien korelasi (r) ? 2. Besarnya KP ? Gambarlah: 3. Scatter Diagramnya? Penyelesaian : Rumus 1. X Y Xi – X (xi) Yi – Y (yi) xi2 yi2 xi . yi 1 2 4 5 7 9 10 12 2 4 5 7 8 10 12 14 -5,25 -4,25 -1,25 -1,25 0,75 2,75 3,75 5,75 -5,75 -3,75 -2,75 -0,75 0,25 2,25 4,25 6,25 27,5625 18,0625 5,0625 1,5625 0,5625 7,5625 14,0625 33,0625 33,0625 14,0625 7,5625 0,5625 0,0625 5,0625 18,0625 39,0625 30,1875 15,9375 6,1875 0,9375 0,1875 6,1875 15,9375 35,9375 ∑ 50 62 107,5000 117,5000 111,5000 _ X = 50 = 6,25 8 _ Y = 62 = 7,75 8 1. r = ∑ xi . yi ∑ xi2 . ∑ yi2 = 111,5000 107,5 . 117,5 = 111,5000 (10,3682) (10,8397) = 111,5 = 0,99 (Hubungannya sangat kuat dan Positip) 112,388 2. KP = (0,99)2 x 100% = 98% Penyelesaian: Rumus 2. Xi Yi Xi2 Yi2 Xi . Yi 1 2 4 5 7 9 10 12 2 4 5 7 8 10 12 14 1 4 16 25 49 81 100 144 4 16 25 49 64 100 144 196 2 8 20 35 56 90 120 168 50 62 420 598 499 r = n ∑ Xi Yi - ∑ Xi . ∑ Yi n ∑ xi2 - ∑ (xi)2 . n . ∑ Yi2 – (∑ Yi)2 = 8 (499) - (50) (62) 8 (420) – (50)2 . 8 (598) – (62)2 = 3992 - 3100 3360 – 2500 . 4784 - 3844 = 892 892 = 860 940 (29,3257) (30,6594) = 892 = 0,99 (Hubungan sangat kuat dan Positip) 899,1084 3. Scatter Diagramnya 14 * 12 * 10 * 8 * * 6 * 4 * 2 * 0 2 4 6 8 10 12 14 X Keterangan : Scatter Diagram Positip 3. KOEFISIEN KORELASI RANK Rumus: Dimana: di = Selisih dari pasangan rank ke i n = banyaknya pasangan rank 1 & 6 = Konstan Soal:1. Kalau ada 2 orang sama-sama penggemar rokok untuk memberikan Nilai terhadap 10 jenis rokok; Rokok yang digemari diberi nilai 1 sampai yang tidak digemari diberi Nilai 10. Hasil pemberian Nilai Ranking adalah sebagai berikut: No Jenis Rokok Nilai Rank Joni Nilai Rank Tono 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kansas Jarum 555 Bentoel Mascot Gold Bond Salem Kent Gudang Garam Dunhill 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Hitunglah: Koefisien Korelasi Rank Tono terhadap Joni Penyelesaian: Rank Tono 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 J Rank Joni 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6 U Selisih Rank (di) -1 -2 -1 1 -1 3 1 2 -1 -1 M ∑ di2 1 4 1 1 1 9 1 4 1 1 24 6 (24) r rank = 1 - 10 ( 100 – 1) = 1 – 0,1455 = 0,8545 = 0,86 = 0,9 ( Hubungannya sangat kuat dan positip ) Soal : PT. ABADI dapat meningkatkan hasil penjualan sehubungan dengan biaya Adpertensi yang dikeluarkan (dalam Jutaan Rp/tahun) datanya sbb: Th Biaya Adpertensi (X) (Jutaan Rp) Rank (X) Hasil Penjualan (Y) (Jutaan Rp) Rank Y di di2 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 63 80 78 67 83 90 75 72 1 6 5 2 7 8 4 3 478 643 620 514 597 635 579 593 1 8 6 2 5 7 3 4 0 -2 -1 0 2 1 1 -1 0 4 1 0 4 1 1 1 ∑ 12 Hitunglah: Koefisien Korelasi Rank biaya Adpertensi terhadap hasil penjualan PT. tersebut. 6 (12) Jawab: r rank = 1 - 8 ( 82 – 1) 72 = 1 - 8 (63) 72 = 1 - 504 = 1 – 0,1429 = 0,857 = 0,86 (Hubungan sangat kuat dan positip) 4. KORELASI DATA BERKELOMPOK n ∑ Vfu– (∑ Ufu) (∑ V fv) Rumus: r = n ( ∑ U2 fu) – (∑ Ufu) 2 . n (∑ V2fv) – (∑ Vfv) 2 Soal: Untuk mengukur hubungan antara Matematika dan Statistik diadakan ujian Terhadap 100 mahasiswa STMIK Budi Luhur dan hasilnya dikelompokan Sbb: (Kelas Genap) I. Matematika II. Statistika 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 ∑ 81 - 90 71 - 80 61 - 70 51 - 60 41 - 50 31 - 40 1 3 3 4 6 5 1 5 9 6 4 2 4 10 5 2 - 4 6 8 2 - - 4 5 1 - - - 10 16 24 21 17 12 ∑ 7 15 25 23 20 10 100 Hitunglah: Koefisien Korelasi data berkelompok tsb? Penyelesaian: Data tsb sebenarnya berasal dari 2 tabel sbb: I. Matematika U fU 31 – 40 41 – 50 51 - 60 61 - 70 71 – 80 81 - 90 -2 -1 0 1 2 3 7 15 25 23 20 10 ∑ 100 II. Statistik V fV 81 - 90 71 – 80 61 - 70 51 - 60 41 – 50 31 - 40 2 1 0 -1 -2 -3 10 16 24 21 17 12 ∑ 100 Kemudian dibuat tabel korelasi sebagai berikut: 1 2 3 4 5 V fV VfV V2fV Vfu 2 4 4 2 10 20 40 44 1 4 6 5 1 16 16 16 31 5 10 8 1 0 24 0 0 0 1 4 9 5 2 - -1 21 -21 21 -3 3 6 6 2 - - -2 17 -34 68 20 3 5 4 - - - -3 12 -36 108 33 U -2 -1 0 1 2 3 ∑ 100 -55 253 125 fU 7 15 25 23 20 10 100 UfU -14 -15 0 23 40 30 64 U2fU 28 15 0 23 80 90 236 U fV 32 31 0 -1 24 39 125 Ket: 5) V = 2 10) fU = 2 (1) + 4 (2) + 4 (3) U = -2 2 + 8 + 12 = 22 fV = 1 (-1) + 3 (-2) + 3 (-3 ) VfU = 2 (22) = 44 = -1 + (-6) + (-9) = -16 V = 1 fU = 1 (0) + 4 (1) + 6 (2) + 5 (3) UfV = -2 (-16) = 0 + 4 + 12 + 15 = 31 = 32 dan seterusnya Vfu = 1 (31) = 31 V = 0 Vfu = 0 dan seterusnya 100 (125) – (64) (-55) r = 100 (236) – (64)2 . 100 (253) – (-55)2 12500 + 3520 = 23600 – 4096 . 25300 – 3025 16020 = (139,6567) (149,2481) 16020 = 20843,50 = 0,77 = 0,8 (Hubungannya cukup kuat & Positip) Soal: Dilakukan penelitian terhadap 43 perusahaan (Industri Kecil) tentang Besarnya pendapat dan pembelanjaan (dalam jutaan Rp/tahun) nya Telah dikelompokkan sbb: II. Pembelanjaan I. Pendapatan (Jutaan Rp) ∑ 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99 50 – 59 60 - 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 1 2 4 1 1 3 5 2 1 2 7 3 2 2 3 4 4 9 15 8 7 ∑ 1 7 12 14 9 43 Hitunglah : Koefisien Korelasi data berkelompok tsb? Penyelesaian: (Kelas Ganjil) Data tsb berasal dari 2 tabel sbb: I. Pendapatan U fU 50 – 59 60 - 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 -2 -1 0 1 2 1 7 12 14 9 ∑ 0 43 II. Pembelanjaan V fV 50 – 59 60 - 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 -2 -1 0 1 2 4 9 15 8 7 ∑ 0 43 Kemudian dibuat tabel Korelasi sbb: 1 2 3 4 5 V fV VfV V2fV VfU 1 2 1 -2 4 -8 16 8 4 3 2 -1 9 -9 9 2 1 5 7 2 0 15 0 0 0 2 3 3 1 8 8 8 9 1 2 4 2 7 14 28 20 U -2 -1 0 1 2 ∑ 43 5 61 39 fu 1 7 12 14 9 43 UfU -2 -7 0 14 18 23 U2fU 4 7 0 14 36 61 UfV 4 8 0 5 22 39 Ket: 5) V = -2 → fu = 1 (-2) + 2 (-1) = -4 (-2) = 8 10) U = -2 → fV = -1 (-2) = -2 (-2) = 4 dan seterusnya n ∑ V fu – ( ∑ Ufu ) ( ∑ V f v ) r = n ( ∑ U2 fu ) – ( ∑ U fu )2 . n ( ∑ V2 fV ) – ( ∑ Vfv ) 2 43 ( 39 ) - ( 23 ) ( 5 ) = 43 ( 61 ) – ( 23 )2 43 ( 61 ) – ( 5 )2 1562 1562 = = = 0,67 (Hubungan cukup kuat & ( 45,76 ) ( 50,97 ) 2332,39 positip) 5. KORELASI DATA KWALITATIP Untuk data Kwalitatip rumus yang dipergunakan sebagai ukuran untuk Menyatakan kuat atau tidaknya hubungan disebut: Contingency Coefficient yang artinya sama dengan r. Rumusnya: Cc = X2 X2 + n Dimana: ( ∑ fiJ – ei J )2 X2 = e i J ∑ f i J = ∑ n i J n = Banyaknya data observasi Soal : Untuk mengukur apakah ada hubungan antara tingkat pendidikan Ibu rumah tangga dengan konsumsi anggota keluarga KB, datanya Sbb: I. Pendidikan II. Konsumsi Keluarga KB (Ribuan Rp/bulan) Kurang Cukup Sangat Cukup A. Tamat SD B. Tamat SLP C. Tamat SLA 24 65 82 65 82 100 82 100 150 Hitunglah: Coefisien Contingency ( r ) data tersebut ? Penyelesaian: II I K C SC ∑ A D C 24 65 82 65 82 100 82 100 150 n1 = 171 n2 = 247 n3 = 332 ∑ n1′ = 171 n2′=247 n3′=332 n = 750 n1 . n1′ 171 ( 171 ) e11 = = = 38,99 n 750 n1 . n2′ 171 ( 247 ) e12 = = = 56,32 n 750 n1 . n3′ 171 ( 332 ) e13 = = = 75,70 n 750 n2 . n1′ 247 ( 171 ) e21 = = = 56,32 n 750 n2 . n2′ 247 ( 247 ) e22 = = = 81,35 n 750 n2 . n3′ 247 ( 332 ) e23 = = = 109,34 n 750 n3 . n1′ 332 (171) e31 = = = 75,70 n 750 n3 . n2′ 332 ( 247 ) e32 = = = 109,34 n 750 n3 . n3′ 332 ( 332 ) e33 = = = 146,97 N 750 ∑ (fi J – e i J)2 X2 = e i J ( f11 – e11)2 ( f12 – e12 )2 ( f13 – e13 )2 = + + + e11 e12 e13 ( f21 – e21 )2 ( f22 – e22 )2 ( f23 – e23 )2 = + + + e21 e22 e23 ( f31 – e31 )2 ( f32 – e32 )2 ( f33 – e33 )2 = + + e31 e 32 e33 ( 24 – 28,99 )2 (65 – 56,32)2 ( 82 – 75,70)2 = + + 38,99 56,32 75,70 ( 65 – 56,32 )2 ( 82 – 81,35 )2 (100 – 109,34)2 = + + 56,32 81,25 109,34 ( 82 – 75,70)2 (100 – 109,34)2 (150 – 146,97)2 = + + 75,70 109,34 146,97 = 5,7630 + 1,3378 + 0,5243 + 1,3378 + 0,0052 + 0,7978 + 0,5243 + 0,7978 + 0,0206 = 11,1086 Cc = X2 X2 + n = = 0,014595 11,1086 = 0,12( Hubungan kurang kuat,tetapi 11,1086 + 750 positip) BAB. IX ANGKA INDEKS I. Defenisi : 1. Angka Index menggambarkan perubahan-perubahan yang terjadi dari waktu ke waktu pada suatu tempat tertentu. 2. Pada waktu yang sama terjadi variasi di beberapa tempat yang berbeda. II. Tujuannya Untuk perbandingan agar data lebih mudah dimengerti atau dipahami secara kwantitatip. III. Jenis-jenis Angka Index 1. Index Harga (Index Price) 2. Index Produksi (Index Quantiti) 3. Index Nilai (Index Value) IV. Waktu Pembuatan Angka Index Ada 2 macam waktu pembuatan angka Index 1. Waktu Dasar (Basa Periode) Adalah waktu dimana suatu kegiatan (kejadian) digunakan untuk dasar perbandingan 2. Waktu yang bersangkutan Adalah waktu dimana suatu kegiatan akan dibandingkan dengan waktu dasar. Contoh: Produksi padi di Sulawesi Selatan sbb: Tahun 1990 = 100 ton Tahun 1991 = 150 ton Jadi Index Produksi 1991 /1990 = 150 /100 x 100 % = 150 % Terdapat Kenaikan sebesar : 150 % - 100 % = 50 % Akan tetapi : Tahun 1991 Produksi 75 ton Maka index produksi tahun 1991 = 75/ 100 x 100 % = 75 % Terdapat penurunan 100 % - 75 % = - 25 % Kesimpulan : 1. Angka Index lebih dari 100 % terjadi kenaikan 2. Angka Index kurang dari 100% terjadi penurunan IP = Pn / Po x 100% VI. PEMBAGIAN ANGKA INDEX : Sederhana IQ = Qn / Qo x 100% IV = Pn.Qn / Po.Qo x 100% Tidak ditimbang IP = ∑Pn / ∑Po x 100% Gabungan IQ = ∑ Qn / ∑ Qo x 100% IV = ∑ Pn.Qn / ∑ Po.Qo x 100% ANGKA INDEKS LP = ∑ Pn.Qo Laspeyres x 100% ∑Po.Qo LQ = ∑ Po.Qn Ditimbang ----------- x 100 % ∑Po.Qo Paasche PP = ∑Pn.Qn x 100 % ∑ Po.Qn PQ = ∑ Pn.Qn X100% ∑Pn.Qo Ada juga teori angka Index menurut : 1. Irving Fisher (mengalikan Rumus Laspeyres dan Paasche) Dalam akar kwadrat a. FP = LP . PP = ∑ Pn .Qo x ∑ Pn . Qn ∑ Po .Qo ∑ Po . Qn b. FQ = LQ . PQ = ∑ Po.Qn x ∑ Pn .Qn ∑ Po.Qo ∑ Pn .Qo 2. Drobisch (membuat Rata-rata Laspeyres dan Paasche) a. DP = LP + PP 2 b. DQ = LQ + PQ 2 3. Marshal Edgeworth IME = ∑ Pn x ½ (Qo + Qn) x 100 % atau: ∑ Po x ½ (Qo + Qn) = ∑ Pn (Qo + Qn) x 100 % ∑ Po (Qo + Qn) A1. INDEX SEDERHANA (TIDAK DITIMBANG) 1. Index Harga Atau Dimana: IP = Index Price (IH = Index Harga) Pn = Harga pada waktu ke n atau t Po = Harga waktu Dasar Contoh: Harga Rata hasil pertanian beberapa pedagang besar di Jakarta tahun 1970 – 1974 (dalam Rp/100 Kg), sebagai berikut : Hasil Pertanian TAHUN 1970 1971 1972 1973 1974 Beras Jagung Kacang Kedelai Kacang Hijau 4476 2623 5180 5821 4194 2558 6001 7056 4912 3330 7280 8788 7662 4591 10850 12409 7837 6006 13149 16220 Sumber Data : BPS Jakarta 1975 Hitunglah : Index Harga beras tahun 1971, 1972, 1973, 1974 ? (waktu dasar 1970 ) Penyelesaian : IP 1971/1970 = 4194 X 100 % = 93,70 % - 100 % = - 6,30 % 4476 (turun) IP 1972/1970 = 4912 X 100 % = 109,74 % - 100 % = 9,74 % 4476 (Naik) IP 1973/1970 = 7662 X 100 % = 171,18 % - 100 % = 71,18 % 4476 (Naik) IP 1974/1970 = 7837 X 100 % = 175,09 % - 100 % = 75,09 % 4476 (Naik) INDEX PRODUKSI Dimana : IQ = Index Quantity (Produksi) Qn = Produksi dalam waktu ke n Qo = Produksi dalam waktu dasar .Soal : Rata-rata produksi pangan per ha dari tahun 1980 – 1984 (dalam kg) Sbb: JENIS TANAMAN TAHUN 1980 1981 1982 1983 1984 Padi Jagung Ketela Pohon Kacang Tanah 3155 983 7500 7270 3282 942 7400 7180 3466 961 7500 7400 3527 992 7600 7550 3541 1044 7100 7980 Hitunglah: Index Produksi Jagung untuk tahun 1981, 1982, 1983& 1984 ? (waktu dasar 1980) Penyelesaian : 1. IQ 1981/ 1980 = 942 X 100% = 95,83 % → Turun = 4,17 % 983 2. IQ 82/80 = 961 X 100 % = 97,76 % → Turun = 2,24 % 983 3. IQ 83/80 = 992 X 100 % = 100,92 % → Naik = 0,92 % 983 4. IQ 84/80 = 1044 X 100 % = 106,21 % → Naik = 6,21 % 983 3. INDEX VALUE (NILAI) Dimana : IV = Index Value Pn = Harga waktu ke n Qn = Produksi waktu ke n Po = Harga waktu dasar Qo = Produksi waktu dasar Soal : Data Penjualan PT Sejati untuk3 jenis produksinya dari tahun 1986-1987 (dalam jutaan Rp/ton) Sbb: NAMA BARANG PRODUKSI HARGA 1986 1987 1986 1987 Golongan A Golongan B Golongan C 7 4 4 8 6 6 5 3 2 6 5 4 Hitunglah : Index Nilai ke 3 golongan barang tsb ? Tabel Penyelesaian : NAMA BARANG 1986 Nilai 1987 Nilai Pn.Qn Po Qo Po. Qo Pn Qn Gol. A Gol. B Gol. C 5 3 2 7 4 4 35 12 8 6 5 4 8 6 6 48 30 24 IVA = 48 X 100 % = 137,14 % - 100 % = 37,14 % (Naik) 35 IV B = 30 X 100 % = 250 % - 100 % = 150 % (Naik) 12 IV C = 24 X 100 % = 300 % - 100 % = 200 % (Naik) 8 A2. INDEX GABUNGAN IP = ∑ Pn X 100% ∑ Po IQ = ∑ Qn X 100% ∑ Qo IV = ∑ Pn . Qn X 100% ∑ Po. Qo Contoh: Soal Data penjualan PT. ABADI (dalam jutaan Rp/ton) Untuk 4 Jenis produksinya Sbb: Produk 1980 1981 Po Qo Pn Qn A B C D 2 3 4 5 4 5 6 7 3 4 5 7 5 6 7 8 Hitunglah : IP, IQ dan IV ? Penyelesaian : Produk 1980 1981 Po Qo Po . Qo Pn Qn Pn . Qn A B C D 2 3 4 5 4 5 6 7 8 15 24 35 3 4 5 7 5 6 7 8 15 24 35 56 ∑ 14 22 82 19 26 130 IP = ∑ Pn 19 X 100% = X 100 % = 135,71 % -100% ∑ Po 14 = 35,71% (Naik) IQ = ∑ Qn 26 X 100 % = X 100 % = 118,18 % - 100 % ∑ Qo 22 = 18,18 % ( Naik) IV = ∑ Pn . Qn 130 X 100 % = X 100 % = 158,54 % - 100 % ∑ Po . Qo 82 = 58,54 % (Naik) B. INDEX DITIMBANG Meliputi : 1. LASPEYRES a. LP = ∑ Pn . Qo x 100 % ∑ Po . Qo b. LQ = ∑ Qn . Po x 100 % ∑ Qo . Po 2. PAASCHE a. PP = ∑ Pn .Qn x 100 % ∑ Po . Qn b. PQ = ∑ Qn . Pn x 100% ∑ Qo . Pn Contoh Soal : Harga beberapa Jenis Barang (dalam Jutaan Rp/ton) tahun 1976 – 1977 di DKI Jakarta Sbb: Jenis Barang Harga Produksi 1976 1977 1978 1979 A B C D 2 3 2 3 3 2 4 4 4 5 6 6 5 4 8 8 Hitunglah : Index menurut ; Laspeyres dan Paasche ? Irving Fisher ? Drobisch dan Marshal Edge worth ? Penyelesaian : Jenis Barang 1976 1977 Po Qo Pn Qn Po . Qo Po . Qn Pn . Qo Pn .Qn A B C D 2 3 2 3 4 5 6 6 3 2 4 4 5 4 8 8 8 15 12 18 10 12 16 24 12 10 24 24 15 8 32 32 ∑ 10 21 13 25 53 62 70 87 1. LASPEYRES a. LP = ∑Pn.Qo / ∑ Po.Qo x 100 % = 70 / 53 x 100% = 132,08 % b. LQ = ∑ Po.Qn / ∑ Po.Qo x 100 % = 62 / 53 x 100 % = 116, 98 % 2. PAASCHE a. PP = ∑ Pn.Qn / ∑ Po.Qn x 100% = 87 / 62 x 100% = 140, 32 % b. PQ = ∑ Pn.Qn / ∑ Pn.Qo x 100 % = 87 / 70 x 100 % = 124, 29 % 3. IRVING FISHER a. FP = LP x PP = 132, 08 x 140, 32 % = 136, 14 % b. FQ = LQ x PQ = 116, 98 x 124,29 % = 120, 58 % 4. DROBISCH a. DP = LP + PP = 132,08 + 140,32 = 136,2 % 2 2 b. DQ = LQ + PQ = 116,98 + 124, 29 = 120,64 % 2 2 5. Index Value = (Ditimbang ) IV = ∑ Pn.Qn / ∑ Po.Qo x 100 % = 87 / 53 x 100 % = 164,15 % 6. INDEX MARSHAL EDGEWORTH Dasar pertimbangannya adalah rata-rata Produksi(Quantity) dari waktu dasar dan Waktu tertentu. IME = ∑ Pn. x ½ ( Qo + Qn ) x 100 % ∑Po x ½ ( Qo + Qn) = ∑ Pn (Qo + Qn ) x 100 % ∑ Po (Qo + Qn ) = 13 ( 21 + 25 ) x 100 % 10(21 + 25 ) = 13 x 100 % 10 = 130 %.